无穷大量与无穷小量

称$x\to a$时$f(x)$是无穷小量 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f(x)=0$.

如何比较小量的大小？

1. $f=o(g)$ as $x\to a$ $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f/g=0$.
2. $f$与$g$是同阶无穷小 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f/g\in\R|\{0\}$.
3. $f\sim g$ as $x\to a$ $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f/g=1$.（等价无穷小）
4. $f=O(g)$（大写的$o$）$\Longleftrightarrow$ $\exist\text{const}$使得$|f(x)|\leq\text{const}|g(x)|$，$\forall x\in B_r(a)|a$，对于某个$r$.

类似地，可以定义无穷大量：

/Definition/

设$\underset{x\to a}{\lim}f(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)=+\infty$.

1. 称$f$是比$g$更低阶的无穷大量 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f/g=0$；
2. 同阶无穷大 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f/g\in\R_+$；
3. 等价无穷大 $\Longleftrightarrow$ $\underset{x\to a}{\lim}f/g=1$.

/Claim/

在求极限时，若某个量$f(x)$涉及乘除，不涉及加减和乘方运算，则可将这个量替换为其等价的无穷小/大量.

/Proof/

设$f\sim g$ as $x\to a$. 要证明的是$\underset{x\to a}{\lim}f(x)h(x)=\underset{x\to a}{\lim}g(x)h(x)$.

$$\begin{aligned} \underset{x\to a}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)h(x))&=\underset{x\to a}{\lim}\frac{f}{g}\underset{x\to a}{\lim}gh\\\\ &=\underset{x\to a}{\lim}gh \end{aligned}$$

即证.

证毕.

提醒：若$f$涉及其他的非四则运算，则不可替换！下面的很多例子都来源于之后的 Taylor 展开.

/Example/

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}\neq0$$

导数

接下来就进入我们课程的下一个阶段——微分学.

我们回忆之前提到过的 Newton 的流数法. 这种方法可以处理质点运动的速度.

/Example/

质点在直线$\R$上运动，$t$时刻位置是$x(t)$.

/Definition/

$t$时刻质点的运动速度是

$$\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$

这个量记为$f'(x)$，$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}|_{x=x_0}$，$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}(x_0)$，$\frac{\text{d}f(x_0)}{\text{d}x}$. 后面几种记号是由 Leibiniz 给出的，理由是：

$$\begin{aligned} \underset{h\to0}{\lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\underset{\Delta x\to0}{\lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\\\ &=\underset{\Delta x\to0}{\lim}\frac{\Delta f}{\Delta x} \end{aligned}$$

$\Delta$ 读作 delta，Leibiniz 说：定义“微分”$\text{d}f$，$\text{d}x$，导数$=$微分之商$=$微商.

注：导数$f'(x_0)$描述了$f$在$x_0$处的变化率（速度是位移的变化率）.

Newton 的老师 Barrow 用尽毕生时间研究曲线的切线问题（这个问题在大航海时代非常重要，否则就会偏航）

-

如果不知道自己在哪里，就可能会发现新大陆. ——艾神

Newton 发现自己的导数能将老师的工作统一成一个式子：

/Example/

假设曲线$\Gamma=\Gamma_f=\{(x,f(x))|x\in D\}$，$P(x_0,f(x_0))$.

求曲线在点$P$处的切线.

/Solution/

做切线之前，我们先考虑过$P$、$Q$两点的一条割线. 当$P$和$Q$无限接近时，这条线趋于切线.

$$\underset{Q\to P}{\lim}k_{PQ}=\underset{x\to x_0}{\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$$

/Definition/

$f$图像上$(x_0,f(x_0))$点处的切线为（切线方程）

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

至此我们就知道了导数最本质的几个含义. 但是我们仍然认为这个导数定义不够好，因为它要求$f$必须在$x_0$的邻域内有定义，对于闭区间我们该怎么办？

/Definition/ （单侧导数）

右导数

$$f'(x_0+)=\underset{x\to x_0+}{\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

这描述了$x$从右侧接近$x_0$时，$f$的变化率.

同样可以定义左导数.

/Claim/

$f$在$x_0$处可导 $\Longleftrightarrow$ $f'(x_0+)$与$f'(x_0-)$存在且相等.

证明是简单的，略去.

有没有不可导的函数？

-

遍地都是. ——艾神

/Example/

$f(x)=|x|$，在$0$处不可导，因为$f'(x_0+)=1$，$f'(x_0-)=-1$.

由上面的例子看来，连续函数未必可导.

/Definition/

称$f$是$D$上的可导函数，如果$f$在$D$上每点处可导.（若$D$为闭区间，则要求在端点处存在单侧导数）

这样得到新的$D\to\R$映射：$x_0\to f'(x_0)$，称之为$f$的导函数，记为$f':D\to\R$或者$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}:D\to\R$.

这样就产生一种新的运算，我们得到一个求导算子：

$\{D$上可导函数$\}\overset{D}{\longrightarrow}\{D$上函数$\}$，$D$称为“导子”. 这是一个定义在无穷维空间之间的映射.

我们已经知道连续函数不一定可导，那么可导函数是否连续？

/Theorem/

可导函数一定连续.

/Proof/

$$\begin{aligned} \underset{x\to x_0}{\lim}(f(x)-f(x_0))&=\underset{x\to x_0}{\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\\\\ &=f'(x_0)\underset{x\to x_0}{\lim}(x-x_0)=0 \end{aligned}$$

证明了连续性.

求导法则

接下来讲求导的计算法则.

/Example/

$c'=0$（$c$为常数）

/Example/

$$\begin{aligned} (x^n)'&=\underset{h\to0}{\lim}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\\\ &=nx^{n-1} \end{aligned}$$

用二项式展开.

/Example/

$$\begin{aligned} (e^x)'&=\underset{h\to0}{\lim}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\\\ &=e^x\underset{h\to0}{\lim}\frac{e^h-1}{h} \end{aligned}$$

换元$e^h-1=y$，即得：$(e^x)'=e^x$.

-

常有人讲这样的笑话：常值函数和指数函数在路上走，看到前面有一个导子，常值函数大惊失色（因为他会消失），而指数函数面不改色. 但是走近一看，发现这是对$y$的偏导算子，于是两个函数都消失了. ——艾神

/Example/

$$\begin{aligned} (\ln x)'&=\underset{h\to0}{\lim}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}\\\\ &=\underset{h\to0}{\lim}\ln(1+\frac{h}{x})^{1/h} \end{aligned}$$

换元$h/x=t$，得到$(\ln x)'=1/x$.

讲一个稍难的例子：

/Example/

$(\ln|x|)'=?$

这样的情况下，对$x<0$分类讨论即可，答案仍然是$1/x$不变.

/Example/

$$\begin{aligned} (\sin x)'&=\underset{h\to0}{\lim}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\\\ &=\underset{h\to0}{\lim}\frac{2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}}{h}\\\\ &=\cos x\\\\ (\cos x)'&=\underset{h\to0}{\lim}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\\\ &=\underset{h\to0}{\lim}\frac{-\sin(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}}{h}\\\\ &=-\sin x \end{aligned}$$

我们还想知道四则运算下导函数应该怎样计算.

/Theorem/

设$f$，$g$在$x_0$处可导，则（略去$(x_0)$不写）

1. $(f\pm g)'=f'\pm g'$；
2. $(fg)'=f'g+fg'$；
3. $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.

让我们选一个比较难的公式来证明，作为例子：

/Proof/ （求导法则 - 3.）

$$\begin{aligned} (\frac{f}{g})'(x)&=\underset{h\to0}{\lim}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\\\ &=\underset{h\to0}{\lim}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x)g(x+h)}\\\\ &=\underset{h\to0}{\lim}\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x)-f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h\cdot g(x)g(x+h)}\\\\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{aligned}$$

其中最后一步还用到了可导函数的连续性，$g(x+h)\to g(x)$.

从上面的定理发现，导子$D$满足如下性质（做代数的人们喜欢这样描述）：

• $D(1)=0$；
• $\forall a,b\in\R$有$D(af+bg)=aD(f)+bD(g)$（$D$是线性的）；
• Leibiniz 法则：$D(fg)=D(f)g+fD(g)$.

代数上，称满足上面三个条件的算子为导子.

为什么我们不写商的 Leibiniz 法则？因为可以用乘法的法则推导；但是我们在之前要证明商的求导法则，是因为我们还不知道商是否可导.

有了四则运算的求导法则，我们可以计算一些更难的求导.

/Example/

$P(x)=\underset{i=0}{\overset{n}\sum}a_ix^i$的导函数是$P'(x)=\underset{i=0}{\overset{n}\sum}ia_ix^{i-1}$.

$\tan x$的导函数是$1/\cos^2x$.

……

推论（Leibiniz 法则）：

$$(f_1f_2\cdots f_k)'=\sum_{i=1}^{k}f_1f_2\cdots f_i'\cdots f_k$$

这个可以用在一些连乘上，比如$P(x)=a_n(x-x_n)\cdots(x-x_1)$的求导.

/Theorem/ （Chain Rule，链式法则）

设$f$在$x_0$处可导，$g$在$f(x_0)$处可导，则$g\circ f$在$x_0$处可导，且

$$(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)$$

这个法则非常重要，几乎所有的求导运算都要用到！

其实我们现在应当证明它，但是这种证明非常繁杂，所以我们延后这个定理的证明，考虑在学完微分之后用微分的观点证明这一定理.

推论：设$f$，$g$处处可导，则导函数$(g\circ f)'=g'(f(x))f'(x)$.

/Example/

$$(x^\alpha)'=(e^{\alpha\ln x})'$$

令$f(x)=\alpha\ln x$，$g(y)=e^y$，这里$\alpha\in\R$，和之前的$n\in\Z$不同.

用链式法则可以证明：$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$.

/Example/

$$(a^x)'=(e^{x\ln a})'=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a$$

/Example/

$$\begin{aligned} (u(x)^{v(x)})'&=(e^{v\ln u})'=e^{v\ln u}(v\ln u)'\\\\ &=u^v(v'\ln u+v\frac{1}{u}u')\\\\ &=u^v(v'\ln u+\frac{vu'}{u}) \end{aligned}$$

之后在复变函数的学习中，我们会关心多项式$f$的根分布情况，$f(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n)$，用到：

$$(\ln f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-x_i}$$

求导应用

/Example/ （帮助计算序列极限）

序列过于离散，有时用函数的方式描述反而更好处理.

已知$\{x_n\neq x_0\}$且$\to x_0$，有

$$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}$$

问：设$f$处处可导，导函数是否连续？

/Example/

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lr} x^2\sin\frac{1}{x}\,,\quad\forall x\neq0\\\\ 0\,,\quad x=0 \end{array}\right.$$

首先这个$f$处处可导，

1. $x\neq0$时，$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$；
2. $x=0$时，$f'(x)=\underset{x\to0}{\lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to0}{\lim}(x^2\sin\frac{1}{x})=0$.

但是导函数并不连续，因为在$x\to0$时，极限不存在.

为了尝试找到$x\to0$时的极限，考虑构造点列去逼近这个极限. 为了简单，我们只考虑$\cos\frac{1}{x}$，利用 Heine 定理：

1. 点列为$x_n=1/2n\pi$（$n\in\Z_+$），$\{x_n\}$处处不为零且趋于$0$，得到$\underset{n\to\infty}{\lim}\cos\frac{1}{x_n}=1$；
2. 点列为$y_n=1/(2n+\frac{1}{2})\pi$，同样做法，但是极限就变成$1$了.

矛盾！

所以不存在极限，导函数不连续.

从上面的例子我们发现，求导这种运算不可捉摸，因为即使处处可导的一个“好”的函数，在经过这种运算之后可能还会变“坏”；但是之后要讲的积分则不然，越积分，函数就会越来越光滑.

求导会让函数变得不光滑，积分会让函数变得光滑.

陈省身先生曾经讲过微积分课，其中他能用积分的地方就不用求导，甚至 Taylor 展开的余项都是用积分余项，而不用 Lagrange 余项，就是上面的这个原因：很多数学家会更喜欢积分.

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