Lesson 1

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2024-10-22

~~这节课的内容似乎非常简单……但是我已经把电脑打开了，就当练习一下打字和markdown吧.~~

我收回，他开始讲范畴了(´。＿。｀)

微积分的起源

Archimedes，想要求一个不规则图形的面积. 当时他计算的是抛物线 $y=x^2$ 下方、 $x=a$ 左侧的面积. 他想到的办法是竖直剖分这个图形，每一个细长条近似为一个矩形，那么这个图形的不规则性就得到了缓解. 有

\begin{aligned} S&=\sum_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^2=\frac{a^3}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\\\\ &=\frac{a^3}{n^3}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\\\ &=\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})\\\\ \end{aligned}

当 $n\to\infty$ 时，这个面积值越来越趋近于一个常数，有

\begin{aligned} S=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}a^3(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{1}{3}a^3\\\\ \end{aligned}

由此，Archimedes认为，不同的表达式能得到相同的一个极限值，这说明开始虽然用了近似，但是最后我们得到的结果是一个确定的精确值.

我们也可以对 $k$ 次函数做同样的事：

\begin{aligned} S=\sum_{i=1}^n\frac{a}{n}(\frac{ia}{n})^k=\frac{a^{k+1}}{n^{k+1}}\sum_{i=1}^ni^k\\\\ \end{aligned}

/题外话/

有一个性质：立方之和等于和的平方.

我们很可惜地发现， $k$ 值越来越大，没有一般的表达式了，手算的难度也越来越大. Archimedes当年正是停在了这个地方.

过了1000多年，Newton重新开始研究这个问题. 他总结Archimedes做过的工作是“已知高度函数 $h(x)$ ，要求面积 $S(a)$ .”

Newton决定反过来问这个问题：“已知面积 $S(a)$ ，要求高度函数 $h(x)$ .”

Newton让 $a$ “流动”一点 $o$ ，考察 $S(a)$ 的变化，就得到 $h(a)$ . 这就有

\begin{aligned} h(x)=\frac{S(x+o)-S(x)}{o}\\\\ \end{aligned}

考虑如下例子：（用到Newton的二项式公式）

\begin{aligned} &S(x)=x^m\,(m\in\Z_+)\\\\ &h(x)=\frac{S(x+o)-S(x)}{o}=\frac{\sum_{k=0}^mC^k_mx^{m-k}o^k-x^m}{o}\\\\ &o\to0\Longrightarrow h(x)\to mx^{m-1}\\\\ \end{aligned}

这是Newton流数法.

Newton的结果实际上回答了Archimedes的疑问，即假如 $h(x)=mx^{m-1}$ ，就可以很容易地得到 $S(x)=x^m$ ，这个运算是互逆的，而Newton的问题更好解决.

至此，我们能够得到更一般的关系.

\begin{aligned} S(x)=\int_0^ah(x)\text{d}x\\\\ \end{aligned}

这也就是积分，之前的流数法实际上就是求导，以上这两个过程是互逆的. 也就是说，

\begin{aligned} (\int_0^xh(x')\text{d}x')'&=h(x)\\\\ \int_0^xS'(x')\text{d}x'&=S(x)-S(0)\\\\ \end{aligned}

上面是微积分基本定理.

到这里我们实际上已经学完了微积分的内容，包括：极限理论、导数、积分、导数与积分的关系.

国内教材有时不强调集合与映射的语言，这其实不好，因为实际上“变元”之类的东西根本没法定义.

（一段批判中学教材改革的话……）

/Definition/

设 $X,Y$ 是集合，所谓一个 $X$ 到 $Y$ 的映射（记为 $f:X\to Y$ ）是指：对每个 $x\in X$ ，标定唯一一个 $Y$ 的元素（记为 $f(x)$ ）与 $x$ 对应. 称上述与 $x$ 对应的 $Y$ 的元素为 $x$ 在 $f$ 下的像.

有四个重要的内容：（课上说是五个，实际上第一个是映射的定义）

（映射的复合）设 $f:X\to Y$ ， $g:Y\to Z$ ，则定义复合映射为 $g\circ f:X\to Z$ 为 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ ， $\forall x\in X$ .
注意：复合映射有顺序，在内侧的映射被更早执行.
（复合的结合律）映射的复合具有结合律，即 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ . 这是自明的.
（恒同映射）对集合 $X$ ，有恒同映射 $id_X:X\to X$ . （identity的缩写）指的是每个元素都映射到自己本身.
恒同映射是复合的单位. 对 $\forall f:X\to Y$ ，有 $id_X\circ f=f\circ id_X=f$ .

集合与映射构成一个“世界”，或者说范畴（Set）.

快下课了，讲一点娱乐性的内容：范畴的定义.

所谓一个范畴（category） $\mathscr{C}$ 由如下data构成：

给明 $\mathscr{C}$ 的对象（object），集合 $Obj(\mathscr{C})$ ，称 $Obj(\mathscr{C})$ 的元素为 $\mathscr{C}$ 的对象.
对 $\forall X,Y\in Obj(\mathscr{C})$ ，有一个集合 $\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)$ ，称 $\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)$ 每个成员 $f$ 为一个从 $X$ 到 $Y$ 的态射，记为 $f:X\to Y$ .
态射可复合，对 $\forall X,Y,Z\in Obj(\mathscr{C})$ 有映射 $\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)\times\text{Hom}_\mathscr{C}(Y,Z)\to\text{Hom}_\mathscr{C}(X,Z)$ . 也就是 $(f,g)\to g\circ f$ ，两个态射唯一地决定一个复合态射.
态射的复合是结合的，即 $\forall f\in\text{Hom}(X,Y)$ ， $g\in\text{Hom}(Y,Z)$ ， $h\in\text{Hom}(Z,W)$ ，有 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .
$\forall X\in Obj(\mathscr{C})$ 有恒同态射 $id_X\in\text{Hom}(X,X)$ ，满足 $\forall f\in\text{Hom}(X,Y)$ 有 $f\circ id_X=id_X\circ f=f$ .