反函数定理

总结一下上节课证明反函数定理时用到的几个步骤的作用.

设 $\vec{x}=f(\vec{x})=\vec{0}$，$J_f(\vec{0})=\text{Id}$.

1. $f(x)=x+\alpha(x)$，$J_\alpha(0)=0$ $\Longrightarrow$ (微分中值定理) $|\alpha(x)-\alpha(y)|\leq\frac{1}{2}|x-y|$ (至少压缩为原来的一半) $\Longrightarrow$ $f$ 在 $B_{2R}(0)$ 中为单射.

2. 对于 $T(x)=w-\alpha(x)$，用压缩映像 ($|w|<R/2$) $\Longrightarrow$ 任何 $|w|<R/2$，$w$ 在 $\overline{B_{R}(0)}$ 中有原像点 $\Longrightarrow$ 取 $V=B_{R/2}(0)$，$U=f^{-1}[V]\cap B_{2R}(0)$，得到 $f:U\to V$ 为双射.

3. 要证明 $f^{-1}:V\to U$ 是 $C^1$ 的. 为此有三个步骤：

   a. 证明 $f^{-1}:V\to U$ 是连续的 (为证明 3.b)；

   b. 证明 $f^{-1}:V\to U$ 是可微的. 证明 $\longleftrightarrow$ 计算极限式，用复合极限定理 $\Longrightarrow$ 不妨 $J_f(x)=\text{Id}$，验证 $f^{-1}$ 在 $f(x)$ 处微分为 $\text{Id}$

   $$\Longrightarrow\lim_{v\to0}\frac{f^{-1}(f(x)+v)-x-v}{|v|}=0$$

   不好直接计算，于是换元 $h=f^{-1}(f(x)+v)-x$ ($v=f(x+h)-f(x)$) $\Longrightarrow$ 由 $J_f(x)=\text{Id}$ 可设 $f(x+h)=f(x)+h+\alpha(h)$，$\underset{h\to0}{\lim}\alpha(h)/|h|=0$

   $$\Longrightarrow\lim_{h\to0}\frac{-\alpha(h)}{|h+\alpha(h)|}=0$$

   Need：当 $v\to0$ 时，$h\to$ ? 用到 3.a 证明过的 $f^{-1}$ 连续 $\Longrightarrow$ $h\to0$.

   c. 证明 $f^{-1}:V\to U$ 是 $C^1$ 的 $\Longleftarrow$ 算 $f^{-1}$ 的偏导数 $\Longleftarrow$ $J_{f^{-1}}$ $\Longleftarrow$ 用 chain rule，需要已知 $f\in C^1$，$f^{-1}$ 可微，$f\circ f^{-1}=\text{Id}$，$f^{-1}\circ f=\text{Id}$. 其中 $f^{-1}$ 可微由 3.b 证明

   $\Longrightarrow$ $J_{f^{-1}}(y)=J_{f^{-1}}(f(x))\circ f^{-1}(y)=[J_f(x)]^{-1}\circ f^{-1}(y)$，$J_f^{-1}$ 的矩阵元均是 $J_f$ 的有理式，而 $f\in C^1$ 故 $J_f$ 的矩阵元均是连续函数，于是 $J_f^{-1}$ 矩阵元均连续，再复合连续函数 $f^{-1}(y)$ (已经在 3.a 中证明过连续性)，仍然连续

   $\Longrightarrow$ $J_{f^{-1}}$ 的矩阵元均连续，证明了 $f^{-1}\in C^1$.

以上是我们对上节课证明过程的回忆与总结.

下面看几个例子：

/Example/

$n=1$，$f:\R\to\R$ 是 $C^1$ 的，这时反函数定理为 (上学期学过)

/Theorem/

若 $J_f(x_0)$ 可逆 ($\Longleftrightarrow$ $f'(x_0)\neq0$ $\Longleftrightarrow$ $J_f(x_0)=[f'(x_0)]_{|x|}$)，则 $f$ 在 $x_0$ 附近有 $C^1$ 的逆.

这学期我们知道了一些新的内容：$n=2$，$f:\R^2\to\R^2$，$f(x,y)=(u(x,y),v(x.y))$. 反函数定理：

/Theorem/

若 $J_f(x_0,y_0)$ 可逆，也就是：

$$\det\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}_{(x_0,y_0)}\neq0$$

则在 $(x_0,y_0)$ 附近 $f$ 有 $C^1$ 的逆 $f^{-1}$.

结论也可以表述为 (在物理中常用)：在 $x_0,y_0$ 附近，$x,y$ 可以表示为 $u,v$ 的 $C^1$ 函数 $x=x(u,v);y=y(u,v)$. 物理学中经常还要求 $x(u,v),y(u,v)$ 的偏导数：

/Method/ (1)

$$\begin{aligned} J_{f^{-1}}(u,v)&=[J_f(x,y)]^{-1}\\\\ \begin{pmatrix} \partial_ux&\partial_vx\\ \partial_uy&\partial_vy \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \partial_xu&\partial_yu\\ \partial_xv&\partial_yv \end{pmatrix}=\frac{1}{u_xv_y-u_yv_x}\begin{pmatrix} v_y&-u_y\\ -v_x&u_x \end{pmatrix} \end{aligned}$$

/Method/ (2)

更加老套的微积分书中会说，直接对恒等式两边求导. 不过这种语言更加难以理解，所以略去.

隐函数定理

隐函数一般有两个来源：

• 物理中，我们常说“每加入一个方程进入系统，就会少一个自由度”，这句话的精确含义是什么？

• 数学 / 几何中，几何空间大都来自于方程的解集：

  $S^{n-1}=\{(x_1,\cdots,x_n)|x_1^2+\cdots+x_n^2-1=0\}=\{f(x_1,\cdots,x_n)=0\}$

  一般地，

  $$S=\left\{(x_1,\cdots,x_n)\left|\begin{array}{} g_1(x_1,\cdots,x_n)=0\\ \cdots\\ g_k(x_1,\cdots,x_n)=0 \end{array}\right.\right\}$$

  问：$S$ 的维数是多少？(猜测是 $\dim S=n-k$)，$S$ 在每个点附近的形状怎么样？

最简单的情形是 $n=2$，$k=1$，$S=\{F(x,y)=0\}$. 问：$S$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近的形状？

$\longleftrightarrow$ $(x_0,y_0)$ 附近，$S$ 有哪些点？

$\longleftrightarrow$ 找更多的解 $x=x_0+\Delta x,y=y_0+\Delta y$ (微分学最重要的是近似)，$0=F(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ (微分学近似).

Taylor 展开到一阶：

$$\begin{aligned} F(x_0,y_0)+\Delta xF_x(x_0,y_0)+\Delta yF_y(x_0,y_0)\\\\\Longrightarrow\Delta xF_x(x_0,y_0)+\Delta yF_y(x_0,y_0)=0 \end{aligned}$$

若 $F_y(x_0,y_0)\neq0$，$\Delta y\approx-F_x(x_0,y_0)/F_y(x_0,y_0)\cdot\Delta x$，因此对于每一个 $\Delta x$，都能唯一地给出一个近似解. 于是我们就能获得 $(x_0,y_0)$ 附近的一族近似解，形如一条直线 (因为 $\Delta x/\Delta y$ 是固定的).

我们相信，这一族近似解可以被我们变为一族精确解，这种“相信 / 猜想”就是隐函数定理.

/Theorem/

设 $f\in C^1(\R^2)$ (主要是为了能够做 Taylor 展开)，$(x_0,y_0)\in S=\{(x,y)|F(x,y)=0\}$.

1. 若 $F_y(x_0,y_0)\neq0$，则 $\exist x_0$ 附近的在 $\R$ 中的开区间 $U$ 以及 $C^1$ 映射 $g:U\to\R$ 使得 $\{(x,g(x))|\forall x\in U\}\subseteq S$ (即 $F(x,g(x))=0,\forall x\in U$).

   称 $g:U\to\R$ 为由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的、$y$ 关于 $x$ 的隐函数. 进一步，有

   $$g'(x)=-\frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\,,\quad\forall x\in U$$

2. 若 $F_x(x_0,y_0)\neq0$，则类似上面，可定义 $x=h(y)$. 这时有

   $$h'(y)=-\frac{F_y(h(x),y)}{F_x(h(x),y)}\,,\quad\forall y\in V$$

/Proof/ (要用到反函数定理)

构造 $f:\R^2\to\R^2$ 为 $f(x,y)=(x,F(x,y))$，则 $f(x_0,y_0)=(x_0,0)$，Jacobian 的行列式为

$$\det J_f(x_0,y_0)=\det\begin{pmatrix} 1&0\\ \frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial x}&\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y} \end{pmatrix}=F_y(x_0,y_0)\neq0$$

可用反函数定理，$\exist(x_0,y_0)$ 的邻域 $N$，$\exist (x,0)$ 的邻域 $W$，使得 $f:N\to W$ 为双射，且 $f^{-1}:W\to N$ 是 $C^1$ 的，由此可在 $N$ 中求出 $F(x,y)=0$ 的全部解.

$(x,y)\in N$ 且 $F(x,y)=0$

$\Longleftrightarrow$ $(x,y)\in N$ 且 $f(x,y)=(x,0)$

$\Longleftrightarrow$ (利用双射条件) $(x,0)\in W$ 且 $(x,y)=f^{-1}(x,0)$

$\Longleftrightarrow$ $(x,0)\in W$ 且 $y=(f^{-1}(x,0)$ 的第二坐标分量$)$

$\Longleftrightarrow$ $(x,0)\in W$ 且 $y=p_2(f^{-1}(x,0))=p_2\circ f^{-1}(x,0)$.

令 $g(x)=p_2\circ f^{-1}(x,0)$，由 $f^{-1}\in C^1$，$p_2\in C^1$ 知道 $g\in C^1$，得证.

同时由上面的证明过程，我们还可以知道 $N$ 中 $F(x,y)=0$ 的全部解 $(x,y)$ 形如 $(x,0)\in W$ 且 $y=g(x)$.

最后，取 $x_0$ 在 $\R$ 中开区间邻域 $U$ 使得 $U\times\{0\}\subseteq W$，则 $\forall x\in U$，$(x,g(x))\in S$.

求隐函数的偏导是简单的，困难的部分就是上面证明的 $\exist C^1$ 的隐函数.

若已经存在 $C^1$ 的隐函数，则有恒等式：$F(x,g(x))=0$，$\forall x\in U$. 求导：

$$0=\frac{\text{d}}{\text{d}x}F(x,g(x))\overset{\text{chain rule}}{=}F_x(x,g(x))+F_y(x,g(x))g'(x)$$

所以得到上面写过的 $g'(x)$ 表达式.

/Remark/

实际上，我们的证明过程中给出的比我们最开始想要得到的结果更强.

定理中只说了 $(x,g(x))$ 是 $F=0$ 的解，但是证明中我们发现 $N$ 中 $F=0$ 全部的解均形如 $(x,g(x))$.

---

$F(x,y)=0$ 时，有两种情形：

• $F_y(x_0,y_0)\neq0$ $\Longrightarrow$ $y$ 是 $x$ 的隐函数；
• $F_x(x_0,y_0)\neq0$ $\Longrightarrow$ $x$ 是 $y$ 的隐函数.

这两种情形说明 $S$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近是“规则”的，在第一种情况下，$S$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近 $\cong$ $U$ (开区间)：$P:U\to S\cap N$，$Q:S\cap N\to U$，它们互逆，给出了一个 $C^1$ 的 微分同胚.

(怎么开始说这个了.jpg)

总结一下：若两个偏导数有一个不为零，则 $S$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近的解集形如一个 $\R^1$.

/Remark/

若两个偏导数全部为零，那么这个解集会很坏吗？

那很坏了.

$S$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近形状不规则.

/Example/

$F(x,y)=xy$，在 $(0,0)$ 附近会出现分叉；

更有甚者，$F(x,y)=xy(x+y)$，会出现三分叉，而且这些奇异的点无法具体分类，因为可能性太多.

/Definition/

称 $(x_0,y_0)$ 是 $S=\{F(x,y)=0\}$ 的光滑点，若 $(F_x,F_y)\neq(0,0)$；否则称奇异点 (singular point).

一般我们在微积分中遇到的都是光滑点，遇到奇异点会特殊说明，并且需要非常小心地处理.

出于推广的精神，我们写出一般的隐函数定理：

/Theorem/ (一般的隐函数定理)

设 $F\in C^1(\R^n)$，$\vec{a}=(a_1,\cdots,a_n)\in S=\{F(x_1,\cdots,x_n)=0\}$，且 $F_{x_n}(\vec{a})\neq0$.

/Draft/

$$\begin{aligned} 0&=F(a_1+\Delta x_1,\cdots,a_n+\Delta x_n)\\\\ &\approx F_{x_1}(a)\Delta x_1+\cdots+F_{x_n}(a)\Delta x_n \end{aligned}$$

若 $F_{x_n}(a)\neq0$，则可以把 $\Delta x_n$ 用其他的量表示，因此 $(\Delta x_1,\cdots,\Delta x_{n-1})\rightsquigarrow$ 确定了一个近似解.

则存在 $(a_1,\cdots,a_{n-1})$ 在 $\R^{n-1}$ 中的开邻域 $U$ 以及 $C^1$ 隐函数 $g:U\to\R$ 使得：

$$F(x_1,\cdots,x_{n-1},g(x_1,\cdots,x_{n-1}))=0\,,\quad\forall(x_1,\cdots,x_{n-1})\in U$$

更一般地，考虑有 $k$ 个方程的情形：

/Theorem/ (终极进化版)

设 $F_1,\cdots,F_k\in C^1(\R^n)$，记 $S$ 为：

$$S:=\{(x_1,\cdots,x_{n})|F_1(x_1,\cdots,x_n)=\cdots=F_k(x_1,\cdots,x_n)=0\}$$

(上面的下标表示第几个函数，而不是偏导数的意思)

设 $\vec{a}=(a_1,\cdots,a_n)\in S$.

/Draft/

$$\left\{\begin{array}{lr} 0\approx\frac{\partial F_1}{\partial x_1}\Delta x_1+\cdots+\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\Delta x_n\\ \cdots\\ 0\approx\frac{\partial F_k}{\partial x_1}\Delta x_1+\cdots+\frac{\partial F_k}{\partial x_n}\Delta x_n \end{array}\right.$$

$n$ 个未知元、$k$ 个线性方程，因此有 $k$ 个主元 (need $k\times k$ 系数矩阵可逆)、$n-k$ 个自由元.

若有：

$$\det\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1(\vec{a})}{\partial x_{n-k+1}}&\cdots&\frac{\partial F_1(\vec{a})}{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial F_k(\vec{a})}{\partial x_{n-k+1}}&\cdots&\frac{\partial F_k(\vec{a})}{\partial x_n} \end{pmatrix}\neq0$$

则 $x_{n-k+1},\cdots,x_n$ 可表示为 $x_1,\cdots,x_{n-k}$ 的 $C^1$ 隐函数，具体而言，$\exist(a_1,\cdots,a_{n-k})$ 在 $\R^{n-k}$ 中的开邻域 $U$ 以及 $k$ 个 $C^1$ 映射 $g_{n-k+1},\cdots,g_{n}:U\to\R$ 使得 $\forall(x_1,\cdots,x_{n-k})\in U$，则：

$$(x_1,\cdots,x_{n-k},g_{n-k+1}(x_1,\cdots,x_{n-k}),\cdots,g_n(x_1,\cdots,x_{n-k}))\in S$$

/Definition/

称 $\vec{a}\in S$ 是 $S$ 的光滑点，若至少一个 version 的隐函数定理条件成立，也就是说：

$$\left.\frac{\partial(F_1,\cdots,F_k)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}\right|_{\vec{a}}=\begin{pmatrix} \frac{\partial F_1(\vec{a})}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_1(\vec{a})}{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial F_k(\vec{a})}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_k(\vec{a})}{\partial x_n} \end{pmatrix}_{k\times n}$$

满秩 $(rk=k)$.

若不满秩，则为奇异点.

隐函数定理的应用

切空间

回忆我们中学时学到的“切向量”、“切平面”定义，考虑一个质点被限制在在某个区域上运动所产生的速度矢量：

/Definition/ (切向量和切空间)

设 $M\subseteq\R^n$，$p_0\in M$，所谓 $M$ 在 $p_0$ 处的一个切向量 $\vec{v}$，是指 $\exist C^1$ path $p:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ ($M$ 上的运动路径) 使得 $p(0)=\vec{p}_0$，$p'(0)=\vec{v}$.

进一步，可以定义 $M$ 在 $p_0$ 处的切空间为 $\text{T}_{p_0}M=\{M$ 在 $p_0$ 处所有切向量$\}$.

我们想要写出这个切空间的具体表达式，也就是：已知 $M=\{F_1=\cdots=F_k=0\}$ 以及 $M$ 的光滑点 $\vec{a}$，确定 $\text{T}_{\vec{a}}M$.

/Theorem/

$\text{T}_{\vec{a}}M=(\text{span}\{\nabla F_1(\vec{a}),\cdots,\nabla F_k(\vec{a})\})^\perp$ (法向量所张成空间的正交补).

/Proof/

(1) 证明 $\text{LHS}\subseteq\text{RHS}$.

设 $\vec{v}$ 是 $M$ 在 $\vec{a}$ 处的切向量，由定义知存在一个 $C^1$ 的路径 $p(t)=(p_1(t),\cdots,p_n(t))$ 使得 $p(0)=\vec{a}$，$p'(0)=\vec{v}$.

由 $p(t)\in M$ 知，$F_i(p_1(t),\cdots,p_n(t))=0$，$\forall t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$.

求导：

$$0=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F_i(p_1(t),\cdots,p_n(t))\right|_{t=0}=\nabla F_i(\vec{a})\cdot p'(0)=\nabla F_i(\vec{a})\cdot\vec{v}$$

因此 $\vec{v}\perp\nabla F_i(\vec{a})$，因此 $\vec{v}\perp\text{span}\{\nabla F_i(\vec{a})\}$，也就是 $\text{LHS}\subseteq\text{RHS}$.

(2) 证明 $\text{RHS}\subseteq\text{LHS}$ (这个稍微难一点，要用到隐函数定理)

设 $\vec{w}\in\text{RHS}$，则 $\vec{w}\perp\nabla F_i(\vec{a})$ ($\forall1\leq i\leq k$).

来证明 $\vec{w}\in\text{T}_{\vec{a}}M$ $\Longleftrightarrow$ 构造 $M$ 上的一种运动，为 $p:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$，使得 $p'(0)=\vec{w}$.

由于 $\vec{a}$ 是 $M$ 的光滑点，所以 $[\frac{\partial F_i(\vec{a})}{\partial x_j}]_{i,j}$ 满秩，也就是 $\exist k\times k$ 子式可逆，不妨取：

$$\left[\frac{\partial F_i(\vec{a})}{\partial x_j}\right]_{1\leq i\leq k,n-k+1\leq j\leq n}$$

可逆.

回忆以隐函数为分量的点 $\in M$，容易构造 $M$ 上的 path.

这时 $x_{n-k+1},\cdots,x_n$ 可表示为 $x_1,\cdots,x_{n-k}$ 的隐函数 $g_{n-k+1},\cdots,g_n$，即 $\forall(x_1,\cdots,x_{n-k})\in U$，有

$$(x_1,\cdots,x_{n-k},g_{n-k+1}(x_1,\cdots,x_{n-k}),\cdots,g_n(x_1,\cdots,x_{n-k}))\in M$$

构造这样的 path：$p:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ 为 (我们希望 $p'(0)=\vec{w}$，但是先不管后 $k$ 个分量)

$$p=(a_1+tw_1,\cdots,g_{n-k+1}(a_1+tw_1,\cdots),\cdots)\in M$$

且 $p(0)=\vec{a}$，因此 $p'(0)\in\text{T}_{\vec{a}}M=\text{LHS}$，记 $p'(0)=(w_1.\cdots,w_{n-k},v_{n-k+1},\cdots,v_n)$，我们要证明 $p'(0)=\vec{w}$.

因为 $p'(0)\in\text{T}_{\vec{a}}M\subseteq\text{RHS}$，因此 $p'(0)\perp\nabla F_i(\vec{a})$，由 $\vec{w}\perp(\text{span})^\perp$ 知：$\vec{w}\perp\nabla F_i(\vec{a})$.

$\Longrightarrow$ $p'(0)-\vec{w}\perp$ any $\nabla F_i(\vec{a})$，其中：

$$p'(0)-\vec{w}=(0,\cdots,0,v_{n-k+1}-w_{n-k+1},\cdots.v_n-w_n)$$

所以：

$$\begin{pmatrix} \partial_1F_1(a)&\cdots&\partial_nF_1(a)\\ \partial_1F_2(a)&\cdots&\partial_nF_2(a)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \partial_1F_{k-1}(a)&\cdots&\partial_nF_{k-1}(a)\\ \partial_1F_k(a)&\cdots&\partial_nF_k(a) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\v_{n-k+1}-w_{n-k+1}\\\vdots\\v_n-w_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}$$

可证 $\vec{v}_*=\vec{w}_*$ (非零部分相等)，于是 $\vec{w}=\vec{v}=p'(0)\in\text{T}_{\vec{a}}M$，得证.

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