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Lesson 26

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2024-12-18

微积分基本定理

我们只叙述了我们可能会用到的部分：

  • （变上限积分求导）设f∈C([a,b])f\in C([a,b])，令F(x)=∫axfF(x)=\int_a^xf，则F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，∀(a,b)\forall(a,b)；在边界上，F′(a+)=f(a)F'(a+)=f(a)，F′(b−)=f(b)F'(b-)=f(b). 连续函数的变上限积分是其原函数.

可证明积分中值定理的另一个版本：

/Proof/ （积分中值定理）

由以上定理知，F∈C([a,b])F\in C([a,b])，且在(a,b)(a,b)中可导，对FF使用 Lagrange 中值，∃ξ∈(a,b)\exist\xi\in(a,b)使得

F′(ξ)=F(b)−F(a)b−a=∫abfb−a=f(ξ)F'(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=\frac{\int_a^bf}{b-a}=f(\xi)

所以ff的积分的平均是(a,b)(a,b)内某点处ff的实际值.

证毕. 这个版本强于之前叙述（∃ξ∈[a,b]\exist\xi\in[a,b]使得式子成立），因为(a,b)(a,b)比[a,b][a,b]范围小.

微积分基本定理的另一个部分是 Newton - Leibiniz 公式：

  • （Newton - Leibiniz 公式）设f∈R([a,b])f\in\mathcal{R}([a,b])，设F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，∀x∈(a,b)\forall x\in(a,b)，且FF在[a,b][a,b]上连续，则

    ∫abf(x)dx=F∣ab=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\text{d}x=F|_a^b=F(b)-F(a)

    注：一定要求FF在a,ba,b处连续，否则这个FF可以在这两个点处被修改，F(b)−F(a)F(b)-F(a)失去跟踪.

上述版本是最强的版本，一个更弱但更常用的版本是：

  • 设f∈R([a,b])f\in\mathcal{R}([a,b])且F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，∀x∈[a,b]\forall x\in[a,b]，从而有

    ∫abf=F∣ab\int_a^bf=F|_a^b

为什么这两个部分合起来才叫做微积分基本定理？

f⟶f\longrightarrow 积分∫abf\int_a^bf ⟶\longrightarrow 求导ff；

F⟶F\longrightarrow 求导ff ⟶\longrightarrow 积分F(b)−F(a)F(b)-F(a).

因为第一部分告诉我们，先积分再求导会得到自己；第二部分告诉我们，先求导再积分会得到自己，这看起来就像在一个好的环境下，积分 & 求导是一对“互逆”的运算，当然还需要一些适当的条件.

进而，计算某一个积分就变成寻找ff的原函数.

计算不定积分

有两个额外的方法：换元公式、分部积分公式.

根据求导的 Chain Rule：(F(α(x)))′=F′(α(x))α′(x)(F(\alpha(x)))'=F'(\alpha(x))\alpha'(x)，可以写出

∫F′(α(x))α′(x)dx=F(α(x))+C\int F'(\alpha(x))\alpha'(x)\text{d}x=F(\alpha(x))+C

Zurich 的书中写到这里就停下来了，说上面公式就是换元公式(∗)(*). 我们在上面公式中甚至找不到“换元体现在何处”，所以在一些中文的书籍中为了体现换元，进行了进一步的细分，称为第一换元和第二换元，但是这增加了理解难度.

/Theorem/ （第一换元）

若有

∫f(x)dx=∫g(α(x))α′(x)dx\int f(x)\text{d}x=\int g(\alpha(x))\alpha'(x)\text{d}x

找到gg的原函数G′=gG'=g，就会得到

∫G′(α(x))α′(x)dx=G(α(x))+C\int G'(\alpha(x))\alpha'(x)\text{d}x=G(\alpha(x))+C

这两步就是第一换元. 一些书中会做形式化的改写，下面我们就来做这一操作：

看出f(x)=g(α(x))α′(x)f(x)=g(\alpha(x))\alpha'(x)之后，我们联想到α′(x)dx\alpha'(x)\text{d}x就像是α(x)\alpha(x)的微分，能够写成d(α(x))\text{d}(\alpha(x))，用一个新的变量就能写成dt\text{d}t. 所以换元t=α(x)t=\alpha(x)写出

∫f(x)dx=∫g(t)dt\int f(x)\text{d}x=\int g(t)\text{d}t

可以发现，这里的换元t=α(x)t=\alpha(x)一步等价于上面两步，最后写成上面这种形式化的写法.

所以第一换元法可以总体写成：

∫f(x)dx=∫g(α(x))α′(x)dx=t=α(x)∫g(t)dt\int f(x)\text{d}x=\int g(\alpha(x))\alpha'(x)\text{d}x \overset{t=\alpha(x)}=\int g(t)\text{d}t

其实后面一步单独来看意义不是很明晰.

/Example/

求tan⁡x\tan x的不定积分.

∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫−d(cos⁡x)cos⁡x=t=cos⁡x∫−dtt=−ln⁡∣t∣+C\begin{aligned} \int\tan x\text{d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\text{d}x=\int\frac{-\text{d}(\cos x)}{\cos x}\overset{t=\cos x}{=}\int-\frac{\text{d}t}{t}=-\ln|t|+C \end{aligned}

所以答案是−ln⁡∣tan⁡x∣+C-\ln|\tan x|+C.

/Example/

∫dxsin⁡x\int\frac{\text{d}x}{\sin x}

这一个看起来并不好处理. 考虑前例用到了d(cos⁡x)=−sin⁡xdx\text{d}(\cos x)=-\sin x\text{d}x，d(sin⁡x)=cos⁡xdx\text{d}(\sin x)=\cos x\text{d}x. 所以上下同时乘−sin⁡x-\sin x，得到：

∫dxsin⁡x=∫−sin⁡xdx−sin⁡2x=∫d(cos⁡x)cos⁡2x−1=t=cos⁡x∫dtt2−1=∫dt(t−1)(t+1)=12∫(1t−1−1t+1)dt=12ln⁡1−t1+t+C=12ln⁡1−cos⁡x1+cos⁡x+C\begin{aligned} \int\frac{\text{d}x}{\sin x}&=\int\frac{-\sin x\text{d}x}{-\sin^2x}=\int\frac{\text{d}(\cos x)}{\cos^2x-1}\overset{t=\cos x}{=}\int\frac{\text{d}t}{t^2-1}\\\\ &=\int\frac{\text{d}t}{(t-1)(t+1)}=\frac{1}{2}\int(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})\text{d}t\\\\ &=\frac{1}{2}\ln\frac{1-t}{1+t}+C=\frac{1}{2}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C \end{aligned}

为结果.

如果是计算正割的积分，类似地得到

∫dxcos⁡x=−12ln⁡1−sin⁡x1+sin⁡x+C\int\frac{\text{d}x}{\cos x}=-\frac{1}{2}\ln\frac{1-\sin x}{1+\sin x}+C

/Example/ （下面几个例子最好记下来）

∫1x2−a2dx=∫(1x−a−1x+a)dx=12a∫(1x−a−1x+a)dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2-a^2}\text{d}x&=\int(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})\text{d}x=\frac{1}{2a}\int(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})\text{d}x\\\\ &=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \end{aligned}

∫1x2+a2dx=∫d(xa)a((xa)2+1)=1aarctan⁡xa+C\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2+a^2}\text{d}x&=\int\frac{\text{d}(\frac{x}{a})}{a((\frac{x}{a})^2+1)}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \end{aligned}

∫1−x2+a2dx=∫ad(xa)a1−(xa)2=arcsin⁡xa+C\begin{aligned} \int\frac{1}{\sqrt{-x^2+a^2}}\text{d}x&=\int\frac{a\text{d}(\frac{x}{a})}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C \end{aligned}

从上面的例子我们发现，第一换元法极度依赖于看出f(x)=g(α(x))α′(x)f(x)=g(\alpha(x))\alpha'(x)，若看不出来，如何处理？

使用第二换元法.

第二换元法是从换元需求出发，我们希望令t=α(x)t=\alpha(x)，回到xx，要把xx用tt表示，也就是x=β(t)x=\beta(t). 合并这两个需求，就是找到两个函数α,β\alpha,\beta满足x=β(α(x))x=\beta(\alpha(x))，∀x∈I\forall x\in I（II是计算不定积分的区间），也即∃β∘α=idI\exist\beta\circ\alpha=\text{id}_I，称β\beta是α\alpha的左逆，α\alpha是β\beta的右逆.

设已经有β(α(x))=x\beta(\alpha(x))=x，恒等式求导得到1=β′(α(x))α′(x)1=\beta'(\alpha(x))\alpha'(x)，∀x\forall x. 利用这个“11”能够得到

f(x)⋅1=f(β(α(x)))β′(α(x))α′(x)f(x)\cdot1=f(\beta(\alpha(x)))\beta'(\alpha(x))\alpha'(x)

令g(t)=f(β(t))β(t)g(t)=f(\beta(t))\beta(t)，则有

∫f(x)dx=∫f(β(α(x)))β′(α(x))α′(x)dx=∫g(α(x))α′(x)dx=∫g(t)dt\int f(x)\text{d}x=\int f(\beta(\alpha(x)))\beta'(\alpha(x))\alpha'(x)\text{d}x=\int g(\alpha(x))\alpha'(x)\text{d}x=\int g(t)\text{d}t

形式化的写法是：

/Theorem/ （第二换元）

设已经找出β(α(x))=x\beta(\alpha(x))=x，记作(∗)(*). 则

∫f(x)dx=x=β(t)t=α(x)∫f(β(t))β′(t)dt\int f(x)\text{d}x\overset{t=\alpha(x)}{\underset{x=\beta(t)}{=}}\int f(\beta(t))\beta'(t)\text{d}t

这一个换元就完成了上面的所有步骤，虽然看起来并无意义，是形式化的写法.

实际上我们过不了多久就会忘记上面的推导，只会记住形式化的法则，但这些法则才是常用的. 总结一下，是

  • 第一换元：

    ∫f(x)dx=discover∫g(α(x))d(α(x))=t=α(x)∫g(t)dt\int f(x)\text{d}x\overset{\text{discover}}{=}\int g(\alpha(x))\text{d}(\alpha(x))\overset{t=\alpha(x)}{=}\int g(t)\text{d}t

  • 第二换元：

    ∫f(x)dx=t=α(x),x=β(t)find β(α(x))=x∫f(β(t))β′(t)dt\int f(x)\text{d}x\overset{\text{find }\beta(\alpha(x))=x}{\underset{t=\alpha(x),x=\beta(t)}{=}}\int f(\beta(t))\beta'(t)\text{d}t

两者的区别：

  • 第一换元法基于“看出”（注意到），第二换元法基于需求；
  • 第一换元法中α(x)\alpha(x)是任意的，第二换元法中α\alpha存在逆β\beta，几乎是一个双射.

/Example/

∫dxa2−x2=?\int\frac{\text{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=?

我们的需求是去掉根号，回忆常见的去根号换元：

  • a2−x2=x=acos⁡θasin⁡θ\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\cos\theta}{=}a\sin\theta；
  • a2−x2=x=asin⁡θacos⁡θ\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\sin\theta}{=}a\cos\theta；
  • x2−a2=x=a/cos⁡θa1/cos⁡2θ−1=atan⁡θ\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a/\cos\theta}{=}a\sqrt{1/\cos^2\theta-1}=a\tan\theta；
  • x2−a2=x=a/sin⁡θa1/sin⁡2θ−1=acot⁡θ\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a/\sin\theta}{=}a\sqrt{1/\sin^2\theta-1}=a\cot\theta.

所以想到取β(θ)=a/cos⁡θ=x\beta(\theta)=a/\cos\theta=x，θ=arccos⁡x/a\theta=\arccos x/a，有

∫dxx2−a2=∫d(acos⁡θ)a1cos⁡2θ−1=∫dθcos⁡θ=12ln⁡1+sin⁡θ1−sin⁡θ+C′=12ln⁡1+1−(ax)21−1−(ax)2+C′=12ln⁡x+x2−a2x−x2−a2+C′=12ln⁡(x+x2−a2)2a2+C′=ln⁡(x+x2−a2)+C\begin{aligned} \int\frac{\text{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}&=\int\frac{\text{d}(\frac{a}{\cos\theta})}{a\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}-1}}=\int\frac{\text{d}\theta}{\cos\theta}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}+C'\\\\ &=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\sqrt{1-(\frac{a}{x})^2}}{1-\sqrt{1-(\frac{a}{x})^2}}+C'=\frac{1}{2}\ln\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{x-\sqrt{x^2-a^2}}+C'\\\\ &=\frac{1}{2}\ln\frac{(x+\sqrt{x^2-a^2})^2}{a^2}+C'=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C \end{aligned}

其中有一步其实存在含糊的地方，即开根号时没有加绝对值，但这是因为不定积分这个任务本身就是含糊的，我们并没有指定在什么区间上找到原函数，所以这里其实不重要，去根号 ⟷\longleftrightarrow 选定某一个区间.

这似乎体现理论本身有含糊的地方，但是仔细想会发现，算不定积分是为了计算定积分，在这种时候区间是确定的，不会有问题；单纯计算不定积分只是一种练习，在这里没必要过多地计较这种问题.

/Example/

∫dxx2+a2=θ=arctan⁡x/ax=atan⁡θ∫ad(tan⁡θ)a2tan⁡θ+a2=∫acos⁡2θacos⁡θdθ=∫dθcos⁡θ=12ln⁡1+sin⁡θ1−sin⁡θ+C′=12ln⁡x2+a2+xx2+a2−x+C′=12ln⁡(x2+a2+x)2a2+C′=ln⁡(x2+a2+x)+C\begin{aligned} \int\frac{\text{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}&\overset{x=a\tan\theta}{\underset{\theta=\arctan x/a}{=}}\int\frac{a\text{d}(\tan\theta)}{\sqrt{a^2\tan\theta+a^2}}=\int\frac{\frac{a}{\cos^2\theta}}{\frac{a}{\cos\theta}}\text{d}\theta=\int\frac{\text{d}\theta}{\cos\theta}\\\\ &=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}+C'=\frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}-x}+C'\\\\ &=\frac{1}{2}\ln\frac{(\sqrt{x^2+a^2}+x)^2}{a^2}+C'=\ln(\sqrt{x^2+a^2}+x)+C \end{aligned}

这些积分最好记住，但一定不要记错；建议是当场再快速计算一遍.

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2025/10/9 02:50
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