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Lesson 38 多元映射的连续性

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约 2913 字大约 10 分钟

2025-3-15

周六补一节课，三个学时.

极限

/Example/

求：

lim⁡(x,y)→(0,0)P(x,y)Q(x,y)=?\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=?

其中 P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y) 齐次，deg⁡P=n>deg⁡Q=m\deg P=n>\deg Q=m，保证分母不为零，要求在 Br(0⃗)∣{0⃗}B_r(\vec{0})|\{\vec{0}\} 中 Q(x,y)Q(x,y) 处处非 00.

分析：

PQ∼rn(x,y)rm(x,y)=r(x,y)n−m→0 as r(x,y)→0\frac{P}{Q}\sim\frac{r^n(x,y)}{r^m(x,y)}=r(x,y)^{n-m}\to0\text{ as }r(x,y)\to0

我们考虑来证明极限为零，利用 P,QP,Q 的齐次性. 为此，先转化为极坐标，(x,y)(x,y) 趋于零等价于 r→0r\to0. 则，

Q(x,y)=Q(rcos⁡θ,rsin⁡θ)=rmg(cos⁡θ,sin⁡θ)Q(x,y)=Q(r\cos\theta,r\sin\theta)=r^mg(\cos\theta,\sin\theta)

PP 同理，P(x,y)=rnf(cos⁡θ,sin⁡θ)P(x,y)=r^nf(\cos\theta,\sin\theta)，因此，

P(x,y)Q(x,y)=f(θ)g(θ)⋅rn−m\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\frac{f(\theta)}{g(\theta)}\cdot r^{n-m}

由 f,gf,g 连续，再由 QQ 在 Br(0⃗)∣{0⃗}B_r(\vec{0})|\{\vec{0}\} 中处处非零知，gg 处处非零，所以 ∣f(θ)g(θ)∣\left|\frac{f(\theta)}{g(\theta)}\right| 在 [0,2π][0,2\pi] 上连续. 根据最值定理，得到这个函数在 [0,2π][0,2\pi] 上有最大值，也就是说有上界 KK. 从而，

0≤∣P(x,y)Q(x,y)∣≤rn−mK→0 as r→00\leq\left|\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\right|\leq r^{n-m}K\to0\text{ as }r\to0

由夹逼定理，原极限为零.

上面是一个常见的例子. 下面看一个我们熟悉的例子：

/Example/

lim⁡(x,y)→(0,0)(1+x2+y2)1x2+y2\lim_{(x,y)\to(0,0)}(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2}}

我们相当熟悉这一结构，所以考虑视为复合极限，有

R2∣{0⃗}⟶fR∣{0}⟶gR\R^2|\{\vec{0}\}\overset{f}{\longrightarrow}\R|\{0\}\overset{g}{\longrightarrow}\R

其中 f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2，g(t)=(1+t)1/tg(t)=(1+t)^{1/t}，原来的函数是 g∘fg\circ f. 但是 一定要验证复合极限定理的修正条件，有

lim⁡(x,y)→(0,0)f=0 ,lim⁡t→0g(t)=e\lim_{(x,y)\to(0,0)}f=0\,,\quad\lim_{t\to0}g(t)=e

修正 I\text{I} 成立 (∀(x,y)∈R2∣{0⃗}\forall(x,y)\in\R^2|\{\vec{0}\} 有 f(x,y)≠0f(x,y)\neq0). 由复合极限定理得到极限值为 ee.

接下来是一个“负面”的例子，即用复合极限定理证明极限不存在.

/Example/

回忆上节课证明的极限：

lim⁡(x,y)→(0,0)P(x,y)(x2+y2)n/2\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{P(x,y)}{(x^2+y^2)^{n/2}}

其中，deg⁡P=n\deg P=n 且 PP 齐次. 这个极限“几乎”不存在，除非 nn 为偶数且 P(x,y)=L⋅(x2+y2)n/2P(x,y)=L\cdot(x^2+y^2)^{n/2}.

我们上节课的证明方法是反证，假设极限存在，则应该不论 (x,y)(x,y) 以何种方式靠近 0⃗\vec{0}，都有 f(x,y)f(x,y) 靠近 LL. 只要选择一个特殊方式 (沿着 y=kxy=kx) 靠近，证明没有 f→Lf\to L 即可.

了解到复合极限定理之后，严格的写法应当是把这条“直线”写成复合的形式：

R∣{0}⟶ΔkR2∣{0⃗}⟶fR\R|\{0\}\overset{\Delta_k}{\longrightarrow}\R^2|\{\vec{0}\}\overset{f}{\longrightarrow}\R

其中 Δk(t)=(t,kt)\Delta_k(t)=(t,kt) (斜率为 kk 的直线)，复合极限 lim⁡t→0(f∘Δk)(t)=L\underset{t\to0}{\lim}(f\circ\Delta_k)(t)=L.

总结：复合极限定理用于证明极限不存在时的“探测曲线”.

一个同类的例子：

/Example/

lim⁡(x,y)→(0,0)xyx2+y2\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}

实际上是上面例子的一个特例，不满足条件，直接可证不存在. 当然如果啰嗦一点，我们能写成：

L=lim⁡t→0(f∘Δk)(t)=lim⁡t→0t⋅ktt2+(kt)2=k1+k2 ,(∀k∈R)L=\lim_{t\to0}(f\circ\Delta_k)(t)=\lim_{t\to0}\frac{t\cdot kt}{t^2+(kt)^2}=\frac{k}{1+k^2}\,,\quad(\forall k\in\R)

显然荒谬.

至此我们建立好了所需的工具，下面我们来讨论连续性.

连续性

本来这一部分纯粹是一元理论的直接推广，但是我们将用拓扑语言来写，特意不使用 ε\varepsilon - δ\delta 语言来写.

为了定义连续映射，我们需要定义“附近”. 上节课我们了解到，给出拓扑结构 ⟷\longleftrightarrow 指出各种程度的“附近”. 所以我们有定义：

/Definition/

所谓 XX 上的一个拓扑结构，是指指定一个 XX 的子集族 T\mathscr{T}，称 T\mathscr{T} 的成员为此拓扑下 XX 的开集.

要求满足三条拓扑公理：

  • ∅,X∈T\varnothing,X\in\mathscr{T}；
  • 有限个开集之交是开集；
  • 任意多个开集之并是开集.

大部分拓扑是无趣的，在微积分中我们更关心所谓的度量拓扑 (通常拓扑)：设 (X,d)(X,d) 是度量空间，度量拓扑 Td={U=\mathscr{T}_d=\{U= 若干开球之并}\}.

上面的定义或许显得重复了，但是在刚开始使用拓扑语言时理应多重复来习惯它.

如果现在有两个拓扑空间 (X,TX)(X,\mathscr{T}_X) 和 (Y,TY)(Y,\mathscr{T}_Y)，现在存在一个映射 f:X→Yf:X\to Y，我们如何定义 ff 在 x0x_0 处的连续性？

回忆一元情况，ff 在 x0x_0 处连续 ⟺\Longleftrightarrow ∀f(x0)\forall f(x_0) 的开球邻域 Bε(f(x0))B_\varepsilon(f(x_0))，都 ∃x0\exist x_0 的开球邻域 Bδ(x0)B_\delta(x_0) 使得 f(Bδ(x0))⊆Bε(f(x0))f(B_\delta(x_0))\subseteq B_\varepsilon(f(x_0)).

对比起来，我们只需要把“开球”换成“开集”就行了.

/Definition/

称 f:X→Yf:X\to Y 在 x0x_0 处连续，如果对于包含 y=f(x0)y=f(x_0) 的 (YY 的) 开集 VV，都 ∃\exist 包含 x0x_0 的 (XX 的) 开集 UU，使得 f[U]⊆Vf[U]\subseteq V.

可能大家觉得这个定义很“绕”，我们回忆“邻域”的概念：称 xx 的 AA 的内点，AA 是 xx 的邻域，当且仅当 ∃\exist 开集 UU 使得 x∈U⊆Ax\in U\subseteq A；称 AA 为 xx 的开邻域，若 AA 是开集且包含 xx.

因此上面定义等价于：对于 f(x0)f(x_0) 的任何开邻域 VV，都 ∃x0\exist x_0 的开邻域 UU 使得 f[U]⊆Vf[U]\subseteq V.

由此，可定义连续：

/Definition/

称 f:X→Yf:X\to Y 是连续映射，记为 f∈C(X,Y)f\in C(X,Y)，若 ff 在 XX 中每点处连续.

C(X,Y)={C(X,Y)=\{所有连续映射 f:X→Y}f:X\to Y\}

我们想知道这种定义方式和极限的写法是否等价，于是：

/Claim/

设 f:D→Rf:D\to\R，a⃗\vec{a} 是 DD 的内点，则 ff 在 a⃗\vec{a} 处是连续的 ⟺\Longleftrightarrow lim⁡x⃗→a⃗f(x⃗)=f(a⃗)\underset{\vec{x}\to\vec{a}}{\lim}f(\vec{x})=f(\vec{a}).

/Proof/

将极限用 ε\varepsilon - δ\delta 语言写出，转化待证命题：

lim⁡x⃗→a⃗f(x⃗)=f(a⃗)\underset{\vec{x}\to\vec{a}}{\lim}f(\vec{x})=f(\vec{a})

⟺\Longleftrightarrow ∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃δ>0\exist\delta>0 使得 ∀0<d(x⃗,a⃗)<δ\forall0<d(\vec{x},\vec{a})<\delta 有 ∣f(x⃗)−f(a⃗)∣<ε|f(\vec{x})-f(\vec{a})|<\varepsilon.

⟺\Longleftrightarrow ∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃δ>0\exist\delta>0 使得 ∀d(x⃗,a⃗)<δ\forall d(\vec{x},\vec{a})<\delta 有 ∣f(x⃗)−f(a⃗)∣<ε|f(\vec{x})-f(\vec{a})|<\varepsilon.

⟺\Longleftrightarrow ∀Bε(f(a⃗))\forall B_\varepsilon(f(\vec{a}))，∃Bδ(a⃗)\exist B_\delta(\vec{a}) 使得 f[Bε(a⃗)]⊆Bε(f(a⃗))f[B_\varepsilon(\vec{a})]\subseteq B_\varepsilon(f(\vec{a})).

“⟹\Longrightarrow”的证明：设 ff 在 a⃗\vec{a} 处连续，由连续定义知对于 f(a⃗)f(\vec{a}) 的开邻域 V=Bε(f(a⃗))V=B_\varepsilon(f(\vec{a}))，∃a⃗\exist\vec{a} 的开邻域 UU，使得 f[U]⊆Vf[U]\subseteq V；由 UU 为开集且 U∋a⃗U\ni\vec{a} 知道 ∃Bδ(a⃗)⊆U\exist B_\delta(\vec{a})\subseteq U，从而

f[Bδ(a⃗)]⊆f[U]⊆V=Bε(f(a⃗))f[B_\delta(\vec{a})]\subseteq f[U]\subseteq V=B_\varepsilon(f(\vec{a}))

从而成立.

“⟸\Longleftarrow”的证明：来证明 ff 在 a⃗\vec{a} 处连续. 为此，∀f(a⃗)\forall f(\vec{a}) 的开邻域 VV，由开集定义，∃\exist 开球，Bε(f(a⃗))⊆VB_\varepsilon(f(\vec{a}))\subseteq V，所以 ∃Bδ(a⃗)\exist B_\delta(\vec{a}) 使得 f[Bδ(a⃗)]⊆Bε(f(a⃗))f[B_\delta(\vec{a})]\subseteq B_\varepsilon(f(\vec{a})). 令 U=Bδ(a⃗)U=B_\delta(\vec{a}) 是 a⃗\vec{a} 的开邻域，且 f[U]⊆Bε(f(a⃗))⊆Vf[U]\subseteq B_\varepsilon(f(\vec{a}))\subseteq V，证毕.

下面我们叙述一个有关整体连续性的定理：

/Theorem/

f:X→Yf:X\to Y 连续

⟺\Longleftrightarrow ff 下开集的原像集是开集 (⟺\Longleftrightarrow ff 下闭集的原像集是闭集)

回忆原像集的定义：∀V⊆Y\forall V\subseteq Y，定义 ff 下 VV 的原像集是 f−1[V]={x∈X ∣ f(x)∈V}f^{-1}[V]=\{x\in X\,|\,f(x)\in V\}.

/Proof/ (定理证明)

“⟹\Longrightarrow”的证明：来证明 ∀Y\forall Y 的开集 VV，有 f−1[V]f^{-1}[V] 是开集.

先证明如下命题：

/Claim/

AA 是开集 ⟺\Longleftrightarrow AA 的每一点都是 AA 的内点.

/Proof/

“⟹\Longrightarrow”显然；证明“⟸\Longleftarrow”. 设 AA 的每点 xx 都是 AA 的内点，则 ∃\exist 开集 Ux∋xU_x\ni x 且 Ux⊆AU_x\subseteq A，从而：

A=⋃x∈A{x}⊆⋃x∈AUx⊆AA=\bigcup_{x\in A}\{x\}\subseteq\bigcup_{x\in A}U_x\subseteq A

所以 AA 为一组开集之并，是开集.

只需要证明每点 x∈f−1[V]x\in f^{-1}[V] 都是其内点. 由 x∈f−1[V]x\in f^{-1}[V] 有 f(x)∈Vf(x)\in V，VV 是 f(x)f(x) 的开邻域，同时 ff 连续，因此 ∃x\exist x 的邻域 UU 使得 f[U]⊆Vf[U]\subseteq V，即 U⊆f−1[V]U\subseteq f^{-1}[V]，表明 xx 是 f−1[V]f^{-1}[V] 的内点，得证.

“⟸\Longleftarrow”的证明：已知开集的原像集是开集，来证明 ff 在每点 x0x_0 处连续. 为此，∀f(x0)\forall f(x_0) 的开邻域 VV，则 f−1[V]f^{-1}[V] 是开集，取 U=f−1[V]U=f^{-1}[V] 是 xx 的开邻域，则 ∃x\exist x 的开邻域 UU 使得 f[U]⊆Vf[U]\subseteq V，连续性得证.

原则上已经证明完毕，再多说一点：由闭集是开集之补，∀\forall 闭集 BB，f−1[B]f^{-1}[B] 闭 ⟺\Longleftrightarrow f−1[B]Cf^{-1}[B]^C 开 ⟺\Longleftrightarrow f−1[BC]f^{-1}[B^C] 开，因此开集的原像集是开集等价于闭集的原像集是闭集.

一些例子：

/Example/

f:Rn→Rf:\R^n\to\R 连续，等高面 (level set) f−1(c)=f−1[{c}]={x⃗∈Rn∣f(x)=c}f^{-1}(c)=f^{-1}[\{c\}]=\{\vec{x}\in\R^n|f(x)=c\}.

/Claim/

连续映射的等高面是闭集.

/Proof/

因为 {c}\{c\} 是 R\R 的闭子集，所以 f−1[{c}]f^{-1}[\{c\}] 是 Rn\R^n 的闭集.

/Example/

利用上面的例子，有一些案例，比如 f=x12+⋯+xn2:Rn→Rf=x_1^2+\cdots+x_n^2:\R^n\to\R 连续，从而

f−1[{c}]={(x1,⋯ ,xn)∣x12+⋯+xn2=c}f^{-1}[\{c\}]=\{(x_1,\cdots,x_n)|x_1^2+\cdots+x_n^2=c\}

是 Rn\R^n 的闭集.

(比如 c<0c<0 时是空集，c=0c=0 时为单点集，c>0c>0 时是一个 n−1n-1 维球面)

连续映射的局部性质

/Theorem/

连续映射的复合连续. (逐点版本)

/Proof/

设 f:X→Yf:X\to Y，g:Y→Zg:Y\to Z，来证明 g∘f:X→Zg\circ f:X\to Z 连续. 为此 ∀Z\forall Z 的开集 WW，由 gg 连续，得到 g−1[W]g^{-1}[W] 为开集；再由 ff 连续得到 f−1[g−1[W]]f^{-1}[g^{-1}[W]] 为开集，所以：(g∘f)−1[W](g\circ f)^{-1}[W] 为开集.

上面的证明使用整体的连续性，但是我们也能写出逐点的版本：设 f:X→Yf:X\to Y 在 x0x_0 处连续，g:Y→Zg:Y\to Z 在 f(x0)f(x_0) 处连续，则 (g∘f)(g\circ f) 在 x0x_0 处连续.

这时的证明是：∀g(f(x0))\forall g(f(x_0)) 的开邻域 WW，由 gg 在 f(x0)f(x_0) 处连续的定义知 ∃f(x0)\exist f(x_0) 的开邻域 VV 使得 g[V]⊆Wg[V]\subseteq W，再由 ff 在 x0x_0 处连续的定义知，∃x0\exist x_0 的开邻域 UU 使得 f[U]⊆Vf[U]\subseteq V.

从而我们找到了 x0x_0 的开邻域 UU，使得：

(g∘f)[U]=g[f[U]]⊆g[V]⊆W(g\circ f)[U]=g[f[U]]\subseteq g[V]\subseteq W

得证.

/Theorem/ (四则运算保持连续性)

设 f:D→Rf:D\to\R，g:D→Rg:D\to\R，D⊆RnD\subseteq\R^n. 设 x0x_0 是 DD 的内点，且 f,gf,g 在 x0x_0 处连续.

则 f±gf\pm g，f⋅gf\cdot g 在 x0x_0 处连续. 进一步，若 g(x0)≠0g(x_0)\neq0，则 f/gf/g 在 x0x_0 处连续.

/Proof/

/Method/ (用极限)

由 f,gf,g 连续知，lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)，lim⁡x→x0g(x)=g(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}g(x)=g(x_0)，用极限的四则运算可以直接得到结果.

/Method/

这种证法初听可能觉得奇怪. 以除法为例，利用复合映射：

D⟶hR×(R∣{0})⟶qdivideRD\overset{h}{\longrightarrow}\R\times(\R|\{0\})\overset{\text{divide}}{\underset{q}{\longrightarrow}}\R

其中 h(x)=(f(x),g(x))h(x)=(f(x),g(x))，qq 是除法运算. 上面的复合其实就是一个简单的除法.

要证明 f/gf/g 在 x0x_0 处连续，只需证明 hh & qq 分别连续.

/Claim/

f(f1,⋯ ,fm):D→Rmf(f_1,\cdots,f_m):D\to\R^m 连续 ⟺\Longleftrightarrow 每个分量函数 fif_i 连续.

/Proof/

ff 在 x0x_0 处连续 ⟺\Longleftrightarrow lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0)，再由多元映射的极限可以逐分量计算，知道 ∀i\forall i，lim⁡x→x0fi(x)=fi(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f_i(x)=f_i(x_0)，因此可以逐分量要求连续.

对于除法计算 qq 的连续性证明，留作练习. (这要证明吗？)

提示

因为我们的课程进度追上来了不少，所以我们今天就到此为止. 大家周三再见.

——艾神

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2025/10/9 02:50
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