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Lesson 53 换元公式

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2025-5-14

本周六上午本教室补课.

k 维平行体的 k-1 维 volume

/Theorem/

设 v⃗1,⋯ ,v⃗k∈Rn\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_k\in\R^n，且线性无关 (k≤nk\leq n).

定义生成 / 张成平行 kk 维体：

P={v⃗1x1+⋯+v⃗kxk∣xi∈[0,1] ,∀i}P=\{\vec{v}_1x_1+\cdots+\vec{v}_kx_k|x_i\in[0,1]\,,\forall i\}

则，Vol(P)=det⁡(v⃗i⋅v⃗j)=det⁡G\mathcal{Vol}(P)=\sqrt{\det(\vec{v}_i\cdot\vec{v}_j)}=\sqrt{\det G}. (GG 为 Gram 矩阵).

/Proof/

对 kk 归纳.

在 k=1k=1，P={xv⃗;0≤x≤1}P=\{x\vec{v};0\leq x\leq1\}，就是一条有向线段，计算知 Vol(P)=∣v⃗∣\mathcal{Vol}(P)=|\vec{v}|，这是熟知的结果.

设 kk 维成立，考虑 k+1k+1 维：令 Q=Q= 由 v⃗1,⋯ .v⃗k\vec{v}_1,\cdots.\vec{v}_k 生成的 kk 维平行体，P=P= 由 v⃗1,⋯ ,v⃗k,v⃗k+1\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_k,\vec{v}_{k+1} 生成的 k+1k+1 维平行体.

则，PP 以 QQ 为底，以 v⃗k+1\vec{v}_{k+1} 为斜棱，所以 Vol(P)=Vol(Q)⋅h\mathcal{Vol}(P)=\mathcal{Vol}(Q)\cdot h (其中 hh 为高). 之后只需要计算 hh 的表达式.

设 v⃗k+1\vec{v}_{k+1} 向底面 QQ (所在的 kk 维子空间) 的垂足为 w⃗=λ1v⃗1+⋯+λkv⃗k\vec{w}=\lambda_1\vec{v}_1+\cdots+\lambda_k\vec{v}_k. 则有 h=∣v⃗k+1−w⃗∣h=|\vec{v}_{k+1}-\vec{w}|，同时 v⃗k+1−w⃗⊥v⃗i\vec{v}_{k+1}-\vec{w}\perp\vec{v}_i (垂直于整个底面).

现在的目标就是证明 det⁡(Gk+1)=det⁡(Gk)⋅∣h∣2\det(G_{k+1})=\det(G_{k})\cdot|h|^2.

为此：

det⁡Gk+1=(v1⋅v1⋯v1⋅vk+1⋮⋱⋮vk⋅v1⋯vk⋅vk+1vk+1⋅v1⋯vk+1⋅vk+1)\det G_{k+1}=\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1&\cdots&v_1\cdot v_{k+1}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ v_k\cdot v_1&\cdots& v_{k}\cdot v_{k+1}\\ v_{k+1}\cdot v_1&\cdots&v_{k+1}\cdot v_{k+1} \end{pmatrix}

做初等行变换：第 k+1k+1 行 −λ1⋅-\lambda_1\cdot 第 1 行 −⋯−λk⋅-\cdots-\lambda_k\cdot 第 k 行，得到

det⁡Gk+1=(v1⋅v1v1⋅v2⋯v1⋅vk+1⋮⋮⋱⋮vk⋅v1vk⋅v2⋯vk⋅vk+100⋯h⋅vk+1)\det G_{k+1}=\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1&v_1\cdot v_2&\cdots&v_1\cdot v_{k+1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_k\cdot v_1&v_k\cdot v_2&\cdots& v_{k}\cdot v_{k+1}\\ 0&0&\cdots&h\cdot v_{k+1} \end{pmatrix}

再做列变换：第 k+1k+1 列 −λ1⋅-\lambda_1\cdot 第 1 列 −⋯−λk⋅-\cdots-\lambda_k\cdot 第 k 列，得到

det⁡Gk+1=(v1⋅v1v1⋅v2⋯0v2⋅v1v2⋅v2⋯0⋮⋮⋱⋮vk⋅v1vk⋅v2⋯000⋯h⋅vk+1)\det G_{k+1}=\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1&v_1\cdot v_2&\cdots&0\\ v_2\cdot v_1&v_2\cdot v_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_k\cdot v_1&v_k\cdot v_2&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&h\cdot v_{k+1} \end{pmatrix}

已经分块对角化，所以 det⁡Gk+1=(det⁡Gk)⋅(h⃗⋅v⃗k+1)=(det⁡Gk)⋅h2\det G_{k+1}=(\det G_k)\cdot(\vec{h}\cdot\vec{v}_{k+1})=(\det G_k)\cdot h^2，证毕.

/Corollary/

k=nk=n 时，称顶维平行体.

Rn\R^n 中的 v⃗1,⋯ ,v⃗n\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n 生成的 nn 维平行体的 volume 为：

det⁡[v⃗1v⃗2⋯v⃗n]\det\begin{bmatrix} \vec{v}_1&\vec{v}_2&\cdots&\vec{v}_n \end{bmatrix}

(视为列向量)

/Proof/

令上述列向量构成的矩阵为 VV，显然可以看出 Gram 矩阵就是 G=VTVG=V^TV.

利用上述定理，知道

Vol=det⁡G=det⁡(VTV)=(det⁡V)2=∣det⁡V∣\mathcal{Vol}=\sqrt{\det G}=\sqrt{\det(V^TV)}=\sqrt{(\det V)^2}=|\det V|

到目前为止我们已经做好了换元公式的铺垫.

多重积分的换元公式

对于观测者 1，其目标为积分 ∫Df\int_Df，在空间 DD 上完成；观测者 2 对 DD 采取新的一套标记，记为 D′D'，这两者之间的坐标变换为 Φ\Phi.

现在以 n=2n=2 为例，为了计算 DD 上的积分，还是要对 DD 作一个剖分，然后找到代表点进行求和：

∫Df=lim⁡∑f(ξi)⋅area(Di) ,D=⋃iDi\int_Df=\lim\sum f(\xi_i)\cdot\text{area}(D_i)\,,\quad D=\bigcup_iD_i

若 DD 的坐标为 (x,y)(x,y)，那么进行变换 Φ(x(u,v),y(u,v))\Phi(x(u,v),y(u,v)) 之后，得到以 (u,v)(u,v) 为坐标的空间 D′D'. 观测者 2 对 D′D' 取一种剖分，则 DD 获得一个“诱导剖分”和“诱导选点方案”：

D=Φ(D′)=Φ(⋃iDi′)=⋃iΦ(Di′) ,Φ(ξi′)∈DiD=\Phi(D')=\Phi\left(\bigcup_iD'_i\right)=\bigcup_i\Phi(D_i')\,,\quad \Phi(\xi_i')\in D_i

原来空间内的 Riemann 和变成了

∫Df=lim⁡∑if(Φ(ξi′))⋅area(Φ(Di′))\int_Df=\lim\sum_if(\Phi(\xi_i'))\cdot\text{area}(\Phi(D'_i))

唯一的难点变为计算 area(Φ(Di′))\text{area}(\Phi(D_i')). 在 Φ\Phi 变换下，原来的平直剖分得到的一个矩形变为 DD 空间中的一个曲边四边形. 但是剖分取得非常小时，“畸变”会减少.

边向量可以近似为 (Δu⋅xu(ui,vI,v),Δu⋅yu(ui,vi))(\Delta u\cdot x_u(u_i,vI,v),\Delta u\cdot y_u(u_i,v_i)) 等形式，上述的 Φ(Di′)\Phi(D_i') 近似为一个平行四边形，由 Δu\Delta u，Δv\Delta v 生成.

记 x⃗u=(xu,yu)\vec{x}_u=(x_u,y_u)，x⃗v=(xv,yv)\vec{x}_v=(x_v,y_v)，最终的面积为

area(Φ(Di′))≈∣det⁡(Δu⋅xuΔv⋅xvΔu⋅yuΔv⋅yv)∣=ΔuΔv⋅∣det⁡(xuxvyuyv)∣\text{area}(\Phi(D_i'))\approx\left|\det\begin{pmatrix} \Delta u\cdot x_u&\Delta v\cdot x_v\\ \Delta u\cdot y_u&\Delta v\cdot y_v \end{pmatrix}\right|=\Delta u\Delta v\cdot\left|\det\begin{pmatrix} x_u&x_v\\y_u&y_v \end{pmatrix}\right|

到这里，原来的 Riemann 和写成：

∫Df∼lim⁡∑if(Φ(u1,vi))ΔuΔv⋅∣det⁡(xuxvyuyv)∣=∫D′(f∘Φ)∣det⁡(xuxvyuyv)∣dudv\begin{aligned} \int_Df&\sim\lim\sum_{i}f(\Phi(u_1,v_i))\Delta u\Delta v\cdot\left|\det\begin{pmatrix} x_u&x_v\\y_u&y_v \end{pmatrix}\right|\\\\ &=\int_{D'}(f\circ \Phi)\left|\det\begin{pmatrix} x_u&x_v\\y_u&y_v \end{pmatrix}\right|\text{d}u\text{d}v \end{aligned}

/Theorem/ (换元公式)

设 D,D′⊆R2D,D'\subseteq\R^2，Φ:D→D′\Phi:D\to D' 是 C1C^1 的双射，则对于 DD 上的可积函数 ff，都有

∬Df(x,y)dxdy=∬D′(f∘Φ)∣det⁡(xuxvyuyv)∣dudv=∬D′(f∘Φ)∣det⁡JΦ(u,v)∣dudv\begin{aligned} \iint_Df(x,y)\text{d}x\text{d}y&=\iint_{D'}(f\circ\Phi)\left|\det\begin{pmatrix} x_u&x_v\\y_u&y_v \end{pmatrix}\right|\text{d}u\text{d}v\\\\ &=\iint_{D'}(f\circ\Phi)|\det J_{\Phi}(u,v)|\text{d}u\text{d}v \end{aligned}

/Remark/

  1. 换元方式为引入 JΦJ_\Phi，来自于 Φ\Phi 引起的体积微元的放缩；
  2. 换元后，ff 变为 f∘Φf\circ\Phi，称为 ff 沿着 Φ\Phi 的 pull back.

/Theorem/ (nn 维换元公式)

设 D⊆RnD\subseteq\R^n，坐标 (x1,⋯ ,xn)(x_1,\cdots,x_n)；D′⊆RnD'\subseteq\R^n，坐标 (u1,⋯ ,un)(u_1,\cdots,u_n). 设 Φ:D′→D\Phi:D'\to D 是 C1C^1 的双射，则对于 DD 上的可积函数 ff，有

∫Dfdx1⋯dxn=∫D′(f∘Φ)∣det⁡JΦ∣du1⋯dun\int_Df\text{d}x_1\cdots\text{d}x_n=\int_{D'}(f\circ\Phi)|\det J_\Phi|\text{d}u_1\cdots\text{d}u_n

/Remark/

为什么一元换元的时候没有出现绝对值？

实际上，一元换元时

∫abfdx=lim⁡∑f(ξi)(xi−xi−1)\int_a^bf\text{d}x=\lim\sum f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})

其中后面的差值是一个“有向”的长度，我们要求了这个长度是正的.

/Example/

求椭圆盘的面积：

D={x2a2+y2b2≤1}D=\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1\right\}

我们先来试试圆盘的面积：

∬x2+y2≤1dxdy=∫−11dx∫−1−x21−x2dy=∫−1121−x2dx=x=cos⁡θ∫π02sin⁡θ(−sin⁡θ)dθ=2∫0πsin⁡2θdθ=π\begin{aligned} \iint_{x^2+y^2\leq1}\text{d}x\text{d}y&=\int_{-1}^1\text{d}x\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\text{d}y\\ &=\int_{-1}^12\sqrt{1-x^2}\text{d}x\\ &\overset{x=\cos\theta}{=}\int_\pi^02\sin\theta(-\sin\theta)\text{d}\theta\\ &=2\int_0^\pi\sin^2\theta\text{d}\theta=\pi \end{aligned}

讲一点题外话：算 nn 维球体积.

Bn‾(R)={x12+⋯+xn2≤R2}\overline{B_n}(R)=\{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq R^2\}

得到

Vol(Bn‾(R))=∫⋯∫x12+⋯+xn2≤R2dx1⋯dxn=∫−RRdxn∫⋯∫x12+⋯+xn−12≤R2−xn2dx1⋯dxn−1=∫−RRdxn⋅Cn−1(R2−xn2)n−1=∫−RRCn−1(R2−xn2)(n−1)/2dxn=xn=Rcos⁡θ∫π0Cn−1(Rsin⁡θ)n−1(−Rsin⁡θ)dθ=Cn−1Rn⋅2In\begin{aligned} \mathcal{Vol}(\overline{B_n}(R))&=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq R^2}\text{d}x_1\cdots\text{d}x_n\\ &=\int_{-R}^R\text{d}x_n\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2\leq R^2-x_n^2}\text{d}x_1\cdots\text{d}x_{n-1}\\ &=\int_{-R}^R\text{d}x_n\cdot C_{n-1}\left(\sqrt{R^2-x_n^2}\right)^{n-1}\\ &=\int_{-R}^RC_{n-1}\left(R^2-x_n^2\right)^{(n-1)/2}\text{d}x_n\\\\ &\overset{x_n=R\cos\theta}{=}\int_\pi^0C_{n-1}(R\sin\theta)^{n-1}(-R\sin\theta)\text{d}\theta\\\\ &=C_{n-1}R^n\cdot2I_n \end{aligned}

其中，In=∫0π/2sin⁡nθdθI_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\text{d}\theta. 这个积分在上学期我们证明过，见 此处.

回到求椭圆面积这里来，换元 x/a=ux/a=u，y/b=vy/b=v，则 Φ(u,v)=(au,bv)\Phi(u,v)=(au,bv)，D′={u2+v2≤1}D'=\{u^2+v^2\leq1\}. 这时可以计算：

area(D)=∬Ddxdy=∬D′∣det⁡JΦ∣dudv=∬u2+v2≤1∣ab∣dudv=π∣ab∣=πab\begin{aligned} \text{area}(D)&=\iint_D\text{d}x\text{d}y=\iint_{D'}|\det J_\Phi|\text{d}u\text{d}v\\ &=\iint_{u^2+v^2\leq1}|ab|\text{d}u\text{d}v\\\\ &=\pi|ab|=\pi ab \end{aligned}

所以我们在中学时学到的“将 x,yx,y 轴伸缩”，实际上就是换元公式.

/Example/

平面极坐标换元：

Φ(r,θ)=(x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ)\Phi(r,\theta)=(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)，这里 Φ:[0,+∞)×[0,2π]→R2\Phi:[0,+\infty)\times[0,2\pi]\to\R^2，但是 Φ\Phi 并非单射，我们似乎不能严格地应用换元公式.

好在 Φ\Phi 对单射的偏离很小，非单射的点不会影响面积的计算 (重合区域只是一条线)，而二元积分实际上是在求加权的面积，所以可以使用换元公式.

∬Df(x,y)dxdy=∬Φ−1(D)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)∣det⁡(cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ)∣drdθ=∬Φ−1(D)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ\begin{aligned} \iint_Df(x,y)\text{d}x\text{d}y&=\iint_{\Phi^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\left|\det\begin{pmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta \end{pmatrix}\right|\text{d}r\text{d}\theta\\ &=\iint_{\Phi^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\text{d}r\text{d}\theta \end{aligned}

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2025/10/9 02:50
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