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本周六上午本教室补课.

## k 维平行体的 k-1 维 volume

/Theorem/

> 设 $\vec{v}\_1,\cdots,\vec{v}\_k\in\R^n$，且线性无关 ($k\leq n$).
>
> 定义生成 / 张成平行 $k$ 维体：
> $$
> P={\vec{v}\_1x\_1+\cdots+\vec{v}\_kx\_k|x\_i\in\[0,1],,\forall i}
> $$
> 则，$\mathcal{Vol}(P)=\sqrt{\det(\vec{v}\_i\cdot\vec{v}\_j)}=\sqrt{\det G}$. ($G$ 为 Gram 矩阵).

/Proof/

> 对 $k$ 归纳.
>
> 在 $k=1$，$P={x\vec{v};0\leq x\leq1}$，就是一条有向线段，计算知 $\mathcal{Vol}(P)=|\vec{v}|$，这是熟知的结果.
>
> 设 $k$ 维成立，考虑 $k+1$ 维：令 $Q=$ 由 $\vec{v}\_1,\cdots.\vec{v}\_k$ 生成的 $k$ 维平行体，$P=$ 由 $\vec{v}\_1,\cdots,\vec{v}*k,\vec{v}*{k+1}$ 生成的 $k+1$ 维平行体.
>
> 则，$P$ 以 $Q$ 为底，以 $\vec{v}\_{k+1}$ 为斜棱，所以 $\mathcal{Vol}(P)=\mathcal{Vol}(Q)\cdot h$ (其中 $h$ 为高). 之后只需要计算 $h$ 的表达式.
>
> 设 $\vec{v}\_{k+1}$ 向底面 $Q$ (所在的 $k$ 维子空间) 的垂足为 $\vec{w}=\lambda\_1\vec{v}*1+\cdots+\lambda\_k\vec{v}*k$. 则有 $h=|\vec{v}*{k+1}-\vec{w}|$，同时 $\vec{v}*{k+1}-\vec{w}\perp\vec{v}\_i$ (垂直于整个底面).
>
> 现在的目标就是证明 $\det(G\_{k+1})=\det(G\_{k})\cdot|h|^2$.
>
> 为此：
> $$
> \det G\_{k+1}=\begin{pmatrix}
> v\_1\cdot v\_1&\cdots\&v\_1\cdot v\_{k+1}\\
> \vdots&\ddots&\vdots\\
> v\_k\cdot v\_1&\cdots& v\_{k}\cdot v\_{k+1}\\
> v\_{k+1}\cdot v\_1&\cdots\&v\_{k+1}\cdot v\_{k+1}
> \end{pmatrix}
> $$
> 做初等行变换：第 $k+1$ 行 $-\lambda\_1\cdot$ 第 1 行 $-\cdots-\lambda\_k\cdot$ 第 k 行，得到
> $$
> \det G\_{k+1}=\begin{pmatrix}
> v\_1\cdot v\_1\&v\_1\cdot v\_2&\cdots\&v\_1\cdot v\_{k+1}\\
> \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
> v\_k\cdot v\_1\&v\_k\cdot v\_2&\cdots& v\_{k}\cdot v\_{k+1}\\
> 0&0&\cdots\&h\cdot v\_{k+1}
> \end{pmatrix}
> $$
> 再做列变换：第 $k+1$ 列 $-\lambda\_1\cdot$ 第 1 列 $-\cdots-\lambda\_k\cdot$ 第 k 列，得到
> $$
> \det G\_{k+1}=\begin{pmatrix}
> v\_1\cdot v\_1\&v\_1\cdot v\_2&\cdots&0\\
> v\_2\cdot v\_1\&v\_2\cdot v\_2&\cdots&0\\
> \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
> v\_k\cdot v\_1\&v\_k\cdot v\_2&\cdots&0\\
> 0&0&\cdots\&h\cdot v\_{k+1}
> \end{pmatrix}
> $$
> 已经分块对角化，所以 $\det G\_{k+1}=(\det G\_k)\cdot(\vec{h}\cdot\vec{v}\_{k+1})=(\det G\_k)\cdot h^2$，证毕.

/Corollary/

> $k=n$ 时，称顶维平行体.
>
> $\R^n$ 中的 $\vec{v}\_1,\cdots,\vec{v}\_n$ 生成的 $n$ 维平行体的 volume 为：
> $$
> \det\begin{bmatrix}
> \vec{v}\_1&\vec{v}\_2&\cdots&\vec{v}\_n
> \end{bmatrix}
> $$
> (视为列向量)

/Proof/

> 令上述列向量构成的矩阵为 $V$，显然可以看出 Gram 矩阵就是 $G=V^TV$.
>
> 利用上述定理，知道
> $$
> \mathcal{Vol}=\sqrt{\det G}=\sqrt{\det(V^TV)}=\sqrt{(\det V)^2}=|\det V|
> $$

到目前为止我们已经做好了换元公式的铺垫.

## 多重积分的换元公式

对于观测者 1，其目标为积分 $\int\_Df$，在空间 $D$ 上完成；观测者 2 对 $D$ 采取新的一套标记，记为 $D'$，这两者之间的坐标变换为 $\Phi$.

现在以 $n=2$ 为例，为了计算 $D$ 上的积分，还是要对 $D$ 作一个剖分，然后找到代表点进行求和：
$$
\int\_Df=\lim\sum f(\xi\_i)\cdot\text{area}(D\_i),,\quad D=\bigcup\_iD\_i
$$
若 $D$ 的坐标为 $(x,y)$，那么进行变换 $\Phi(x(u,v),y(u,v))$ 之后，得到以 $(u,v)$ 为坐标的空间 $D'$. 观测者 2 对 $D'$ 取一种剖分，则 $D$ 获得一个“诱导剖分”和“诱导选点方案”：
$$
D=\Phi(D')=\Phi\left(\bigcup\_iD'\_i\right)=\bigcup\_i\Phi(D\_i'),,\quad \Phi(\xi\_i')\in D\_i
$$
原来空间内的 Riemann 和变成了
$$
\int\_Df=\lim\sum\_if(\Phi(\xi\_i'))\cdot\text{area}(\Phi(D'\_i))
$$
唯一的难点变为计算 $\text{area}(\Phi(D\_i'))$. 在 $\Phi$ 变换下，原来的平直剖分得到的一个矩形变为 $D$ 空间中的一个曲边四边形. 但是剖分取得非常小时，“畸变”会减少.

边向量可以近似为 $(\Delta u\cdot x\_u(u\_i,vI,v),\Delta u\cdot y\_u(u\_i,v\_i))$ 等形式，上述的 $\Phi(D\_i')$ 近似为一个平行四边形，由 $\Delta u$，$\Delta v$ 生成.

记 $\vec{x}*u=(x\_u,y\_u)$，$\vec{x}*v=(x\_v,y\_v)$，最终的面积为
$$
\text{area}(\Phi(D\_i'))\approx\left|\det\begin{pmatrix}
\Delta u\cdot x\_u&\Delta v\cdot x\_v\\
\Delta u\cdot y\_u&\Delta v\cdot y\_v
\end{pmatrix}\right|=\Delta u\Delta v\cdot\left|\det\begin{pmatrix}
x\_u\&x\_v\y\_u\&y\_v
\end{pmatrix}\right|
$$
到这里，原来的 Riemann 和写成：
$$
\begin{aligned}
\int\_Df&\sim\lim\sum*{i}f(\Phi(u\_1,v\_i))\Delta u\Delta v\cdot\left|\det\begin{pmatrix}
x\_u\&x\_v\y\_u\&y\_v
\end{pmatrix}\right|\\\\
&=\int*{D'}(f\circ \Phi)\left|\det\begin{pmatrix}
x\_u\&x\_v\y\_u\&y\_v
\end{pmatrix}\right|\text{d}u\text{d}v
\end{aligned}
$$
/Theorem/ (换元公式)

> 设 $D,D'\subseteq\R^2$，$\Phi:D\to D'$ 是 $C^1$ 的双射，则对于 $D$ 上的可积函数 $f$，都有
> $$
> \begin{aligned}
> \iint\_Df(x,y)\text{d}x\text{d}y&=\iint\_{D'}(f\circ\Phi)\left|\det\begin{pmatrix}
> x\_u\&x\_v\y\_u\&y\_v
> \end{pmatrix}\right|\text{d}u\text{d}v\\\\
> &=\iint\_{D'}(f\circ\Phi)|\det J\_{\Phi}(u,v)|\text{d}u\text{d}v
> \end{aligned}
> $$
> /Remark/
>
> > 1. 换元方式为引入 $J\_\Phi$，来自于 $\Phi$ 引起的体积微元的放缩；
> > 2. 换元后，$f$ 变为 $f\circ\Phi$，称为 $f$ 沿着 $\Phi$ 的 pull back.

/Theorem/ ($n$ 维换元公式)

> 设 $D\subseteq\R^n$，坐标 $(x\_1,\cdots,x\_n)$；$D'\subseteq\R^n$，坐标 $(u\_1,\cdots,u\_n)$. 设 $\Phi:D'\to D$ 是 $C^1$ 的双射，则对于 $D$ 上的可积函数 $f$，有
> $$
> \int\_Df\text{d}x\_1\cdots\text{d}x\_n=\int\_{D'}(f\circ\Phi)|\det J\_\Phi|\text{d}u\_1\cdots\text{d}u\_n
> $$
> /Remark/
>
> > 为什么一元换元的时候没有出现绝对值？
> >
> > 实际上，一元换元时
> > $$
> > \int\_a^bf\text{d}x=\lim\sum f(\xi\_i)(x\_i-x\_{i-1})
> > $$
> > 其中后面的差值是一个“有向”的长度，我们要求了这个长度是正的.

/Example/

> 求椭圆盘的面积：
> $$
> D=\left{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1\right}
> $$
>
> ***
>
> 我们先来试试圆盘的面积：
> $$
> \begin{aligned}
> \iint\_{x^2+y^2\leq1}\text{d}x\text{d}y&=\int\_{-1}^1\text{d}x\int\_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\text{d}y\\
> &=\int\_{-1}^12\sqrt{1-x^2}\text{d}x\\
> &\overset{x=\cos\theta}{=}\int\_\pi^02\sin\theta(-\sin\theta)\text{d}\theta\\
> &=2\int\_0^\pi\sin^2\theta\text{d}\theta=\pi
> \end{aligned}
> $$
> 讲一点题外话：算 $n$ 维球体积.
> $$
> \overline{B\_n}(R)={x\_1^2+\cdots+x\_n^2\leq R^2}
> $$
> 得到
> $$
> \begin{aligned}
> \mathcal{Vol}(\overline{B\_n}(R))&=\int\cdots\int\_{x\_1^2+\cdots+x\_n^2\leq R^2}\text{d}x\_1\cdots\text{d}x\_n\\
> &=\int\_{-R}^R\text{d}x\_n\int\cdots\int\_{x\_1^2+\cdots+x\_{n-1}^2\leq R^2-x\_n^2}\text{d}x\_1\cdots\text{d}x\_{n-1}\\
> &=\int\_{-R}^R\text{d}x\_n\cdot C\_{n-1}\left(\sqrt{R^2-x\_n^2}\right)^{n-1}\\
> &=\int\_{-R}^RC\_{n-1}\left(R^2-x\_n^2\right)^{(n-1)/2}\text{d}x\_n\\\\
> &\overset{x\_n=R\cos\theta}{=}\int\_\pi^0C\_{n-1}(R\sin\theta)^{n-1}(-R\sin\theta)\text{d}\theta\\\\
> &=C\_{n-1}R^n\cdot2I\_n
> \end{aligned}
> $$
> 其中，$I\_n=\int\_0^{\pi/2}\sin^n\theta\text{d}\theta$. 这个积分在上学期我们证明过，见 [此处](/integral/gpu4r2m9/#分部积分公式).
>
> ***
>
> 回到求椭圆面积这里来，换元 $x/a=u$，$y/b=v$，则 $\Phi(u,v)=(au,bv)$，$D'={u^2+v^2\leq1}$. 这时可以计算：
> $$
> \begin{aligned}
> \text{area}(D)&=\iint\_D\text{d}x\text{d}y=\iint\_{D'}|\det J\_\Phi|\text{d}u\text{d}v\\
> &=\iint\_{u^2+v^2\leq1}|ab|\text{d}u\text{d}v\\\\
> &=\pi|ab|=\pi ab
> \end{aligned}
> $$
> 所以我们在中学时学到的“将 $x,y$ 轴伸缩”，实际上就是换元公式.

/Example/

> 平面极坐标换元：
>
> $\Phi(r,\theta)=(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)$，这里 $\Phi:\[0,+\infty)\times\[0,2\pi]\to\R^2$，但是 $\Phi$ 并非单射，我们似乎不能严格地应用换元公式.
>
> 好在 $\Phi$ 对单射的偏离很小，非单射的点不会影响面积的计算 (重合区域只是一条线)，而二元积分实际上是在求加权的面积，所以可以使用换元公式.
> $$
> \begin{aligned}
> \iint\_Df(x,y)\text{d}x\text{d}y&=\iint\_{\Phi^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\left|\det\begin{pmatrix}
> \cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta\&r\cos\theta
> \end{pmatrix}\right|\text{d}r\text{d}\theta\\
> &=\iint\_{\Phi^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\text{d}r\text{d}\theta
> \end{aligned}
> $$