多重积分

$\Omega\subseteq\R^n$ 的带权重的 $n$ 维 volume.

/Definition/ (矩体上的积分)

(1) 矩体上的积分：

$I=[a,b]\times[c,d]$，剖分 $[a,b]=\bigcup_i S_i$，$[c,d]=\bigcup_jT_j$，$I=\bigcup_{i,j}S_i\times T_j$，选取代表点 $\xi_{ij}\in S_i\times T_j$.

(2) Darboux 上下和：(不用选点)

$$\begin{aligned} \iint f&=\lim\sum_{i,j}f(\xi_{ij})|S_i||T_j|\\ &=\inf U(P,f)=\sup L(P,f) \end{aligned}$$

上和

$$U(P,f)=\sum_{i,j}|S_i|\times|T_j|\sup_{S_i\times T_j}f(x,y)$$

下和

$$L(P,f)=\sum_{i,j}|S_i|\times|T_j|\inf_{S_i\times T_j}f(x,y)$$

/Theorem/

$f$ 在 $I$ 上可积

$\Longleftrightarrow$ $\underset{P}{\inf}U(P,f)=\underset{P}{\sup}L(P,f)$ (此值称为积分)

$\Longleftrightarrow$ $\forall\varepsilon>0$，$\exist$ 剖分 $P$ 使得 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$.

/Definition/ (一般有界区域 $D\subseteq\R^n$，积分有界函数 $f$)

取矩体 $I\supseteq D$，将 $f$ 扩充为

$$\tilde f(\vec{x})=\left\{\begin{array}{ll} f(\vec{x})&\vec{x}\in D\\ 0&\vec{x}\notin D \end{array}\right.$$

定义一般的积分为

$$\iint_Df=\iint_I\tilde f$$

/Theorem/ (Riemann - Lebesgue 积分)

$f$ 在矩体 $I$ 上可积

$\Longleftrightarrow$ $f$ 有界，且 $\text{disc}f$ 零测 ($n$ 维 volume 为零)

这样写完之后，我们发现复杂度比我们之前想象的要高. 现在我们要问：如何判断 $f$ 在一般区域 $D$ 上是否可积？

设 $f$ 在 $I$ 上有定义，则 $\tilde f=f\cdot\chi_D$.

定义 $D$ 的特征函数：

$$\chi_D(\vec{x})=\left\{\begin{array}{ll} 1&\vec{x}\in D\\ 0&\vec{x}\notin D \end{array}\right.$$

之前的定理被转化为：$f$ 在 $D$ 上可积 $\Longleftrightarrow$ $f\cdot\chi_D$ 在 $I$ 上可积 $\Longleftrightarrow$ $f\chi_D$ 在 $I$ 上有界，且 $\text{disc}(f\chi_D)$ 零测.

记 $f$ 的连续点的集为 $C(f)$，有如下命题：

/Claim/

若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续 $\Longrightarrow$ $fg$ 在 $x_0$ 处连续.

(证明上节课结尾说了)

为保证 $f$ 在 $D$ 上可积，只需 (充分条件)：

• $f$ 在 $D$ 上有界；
• $\text{disc}(f)$ 零测；
• $\text{disc}(\chi_D)$ 零测；

/Remark/

连续函数在某些很坏的区域 $D$ 上完全有可能不可积. 这一点我们在一维情形里面很难遇到.

/Example/

$D\subseteq[0,1]\times[0,1]$，$D=\{(x,y)|x\notin\mathbb{Q};x,y\in[0,1]\}$.

$f=1$ 在 $D$ 上不可积. 为验证，我们计算间断点集的测度：

• 对于 $(x,y)\in D,x\notin\mathbb{Q}$，发现周围任意近的点都有有理数，所以这个点是间断点；
• 对于 $(z,w)\in D,z\in\mathbb{Q}$，发现周围任意近的点都有无理数，所以这个点是间断点.

因此，$\text{disc}(f\chi_D)=\text{disc}(\chi_D)=[0,1]\times[0,1]\supseteq D$，甚至比 $D$ 还要大，不是零测的.

这样我们就证明了 $f=1$ 在 $D$ 上不可积，也就是无法定义 $\text{area}(D)$ (面积).

也可以定义高维的 $n$ 维体积：

$$\mathcal{Vol}(\Omega)=\int\cdots\int_\Omega1\cdot\text{d}x_1\cdots\text{d}x_n$$

(对于 $\Omega\subseteq\R^n$ 进行定义)

如何具体写出 $\text{disc}(\chi_D)$？

$\{D$ 的内点$\}$ 记为 $\overset{\circ}{D}$ ($D$ 的内部)，称 $x\in\overset{\circ}{D}$ $\Longleftrightarrow$ $\exist B_r(\vec{x})\subseteq D$.

若 $x\in\overset{\circ}{D}$，则 $x$ 是 $\chi_D$ 的连续点. 记 $D|\overset{\circ}{D}$ 为 $\partial D$ 为 $D$ 的边界，可知 $\overset{\circ}{D}\subseteq C(\chi_D)$.

设 $D$ 是闭集 ($D$ 是 $\R^n$ 的闭集)：$\forall y\notin D$，由 $D^C$ 开知，$\exist B_r(y)\subseteq D^C$，则 $\chi_D$ 在 $B_r(y)$ 上恒为零 $\Longrightarrow$ $D^C\subseteq C(\chi_D)$.

结合上面两个结论，可知 $\text{disc}(\chi_D)=\partial D$. 此后我们在讨论积分时，都假设 $\partial D$ 零测.

总结：对于 $\R^n$ 的有界闭集 $D$，假设 $\partial D$ 零测 (即 $\text{disc}(\chi_D)$ 零测)，则 $f$ 在 $D$ 上可积 $\Longleftrightarrow$ $f$ 在 $D$ 上有界，且 $\text{disc}(f)$ 零测.

多重积分的性质

1. 关于被积函数线性

   $$\int_D(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_Df+\beta\int_Dg$$

2. 关于积分区域可加性

   $$\int_{D_1\cup D_2}f=\int_{D_1}f+\int_{D_2}f-\int_{D_1\cap D_2}f$$

   (与离散数学中的容斥原理相似)

3. 积分不等式

   设 $f(\vec{x})\leq g(\vec{x})$，$\forall\vec{x}\in D$，则

   $$\int_Df\leq\int_Dg$$

   绝对值不等式：

   $$\left|\int_Df\right|\leq\int_D|f|$$

   (证明可以从 $-|f|\leq f\leq|f|$ 出发)

4. 积分中值定理

   设 $D$ 是有界闭集，且道路连通，设 $f$ 在 $D$ 上连续，则 $\exist\vec{a}\in D$ 使得

   $$f(\vec{a})=\frac{\int_Df}{\mathcal{Vol}(D)}$$

   ($f$ 在 $D$ 上积分的平均值可由 $f$ 在某点处的值取到)

/Proof/ (2)

取矩体 $I\supseteq D_1\cup D_2$. 要证明的变为：

$$\int_If\chi_{D_1\cup D_2}=\int_If(\chi_{D_1}+\chi_{D_2}-\chi_{D_1\cap D_2})$$

也就是要证：

$$\chi_{D_1\cup D_2}=\chi_{D_1}+\chi_{D_2}-\chi_{D_1\cap D_2}$$

如下表：

$x\in$	$\chi_{D_1}$	$\chi_{D_2}$	$\chi_{D_1\cap D_2}$	$\chi_{D_1\cup D_2}$
1 区域	1	0	0	1
2 区域	0	1	0	1
3 区域	1	1	1	1
4 区域	0	0	0	0

得证.

---

特例：在 $\R^n$ 中，$D_1$ 与 $D_2$ 沿着公共的 $n-1$ 维超曲面粘起来，记 $D_1\cap D_2=C$ 是 $n-1$ 维超曲面. 由 $f$ 可积，知 $f$ 有界，$-M\leq f\leq M$ ($M$ 为正常数)

$$\begin{aligned} \int_{D_1\cap D_2}f&\leq\int_{D_1\cap D_2}M=M\cdot\mathcal{Vol}_n(D_1\cap D_2)\\\\ &\leq M\cdot\mathcal{Vol}_{n-1}(D_1\cap D_2)\cdot\varepsilon\quad(\forall\varepsilon>0) \end{aligned}$$

所以实际上上述积分值为零，在这种特例中 $\chi_{D_1\cup D_2}=\chi_{D_1}+\chi_{D_2}$.

/Proof/ (4)

$D$ 为有界闭集，$f$ 连续 $\Longrightarrow$ $f$ 在 $D$ 上有最大值 $f(x_1)$ 和最小值 $f(x_2)$.

从而，$f(x_2)\leq f(x)\leq f(x_1)$，$\forall x\in D$.

$$f(x_2)\mathcal{Vol}(D)=\int_Df(x_2)\leq\int_Df(x)\leq\int_Df(x_1)=f(x_1)\mathcal{Vol}(D)$$

所以中间的 $\int_Df/\mathcal{Vol}(D)\in[f(x_2),f(x_1)]$ 是介值，由介值定理证毕.

计算方法

有两种：Fubini 定理 (化为累次积分) & 换元公式

Fubini 定理

设 $I$ 是一个矩形，$I=[a,b]\times[c,d]$，$f\in C(I)$. 有 Riemann 和：

$$\begin{aligned} \iint_If(x,y)&=\lim\sum f(x_i,y_j)\Delta x_i\Delta y_j\\ &\approx\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i,y_j)\Delta x_i\Delta y_j \end{aligned}$$

数表中所有数的和 $\sum_i\sum_ja_{ij}$，有两种求法：先对列求和，先对行求和. 这两者是相等的，这一结论被称为离散数学中的 Fubini 定理.

上述式子可以继续计算：

$$\begin{aligned} &=\sum_{i=1}^n\Delta x_i\underset{\text{Riemann sum of 1 dimension}}{\underline{\left(\sum_{j=1}^mf(x_i,y_j)\Delta y_j\right)}}\sim\sum_{i=1}^n\Delta x_i\left(\int_c^df(x_i,y)\text{d}y\right)\\ &=\sum_{i=1}^n\underset{\text{Riemann sum of 1 dimension}}{\underline{\Delta x_i\cdot F(x_i)}}\sim\int_a^bF(x)\text{d}x \end{aligned}$$

以上是一种简单的推理.

/Theorem/ (Fubini 定理)

设 $f$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上可积，且对于每个 $x\in[a,b]$，积分

$$\int_c^df(x,y)\text{d}y$$

存在，记其值为 $F(x)$，则 $F$ 在 $[a,b]$ 上可积，且有

$$\int_{[a,b]\times[c,d]}f=\int_a^bF(x)\text{d}x$$

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