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Lesson 56 第二型曲线积分

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2025-5-21

第二型曲线积分

第一型积分 ⟷\longleftrightarrow 该曲线 / 曲面带权的 volume，是数值型函数的积分.

相对地，第二型积分是矢量值型函数的积分.

第二型的曲线积分来自于 Newton 力学：外力 F⃗(r⃗)=(P(r⃗),Q(r⃗),R(r⃗))\vec{F}(\vec{r})=(P(\vec{r}),Q(\vec{r}),R(\vec{r}))，Newton 第二定律给出

{mx′′(t)=P(x(t),y(t),z(t))(1)my′′(t)=Q(x(t),y(t),z(t))(2)mz′′(t)=R(x(t),y(t),z(t))(3)\begin{cases} mx''(t)=P(x(t),y(t),z(t))\quad(1)\\\\ my''(t)=Q(x(t),y(t),z(t))\quad(2)\\\\ mz''(t)=R(x(t),y(t),z(t))\quad(3) \end{cases}

这是二阶 ODE 组，求解的方法是求导的逆运算，也就是积分. 做如下操作：

(1)×x′(t)+(2)×y′(t)+(3)×z′(t)(1)\times x'(t)+(2)\times y'(t)+(3)\times z'(t)

得到：

mr⃗′′(t)⋅r⃗′(t)=F⃗(r⃗(t))⋅r⃗′(t)m\vec{r}''(t)\cdot\vec{r}'(t)=\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)

两边积分，得到

12mr⃗′2(t1)−12mr⃗′2(t0)=∫t0t1F⃗(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt\frac{1}{2}m\vec{r}'^2(t_1)-\frac{1}{2}m\vec{r}'^2(t_0)=\int_{t_0}^{t_1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\text{d}t

这实际上是对 Newton 方程进行一次积分. RHS 的 r⃗′(t)dt\vec{r}'(t)\text{d}t 一般被称为位移微元，记作 dr⃗\text{d}\vec{r}，所以 RHS 可以改写成

∫r⃗(t0)r⃗(t1)F⃗⋅dr⃗\int_{\vec{r}(t_0)}^{\vec{r}(t_1)}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}

这被称为外力对该质点在此段运动轨迹中所做的功.

在数学中，我们可以将这样的物理实际抽象出来：

/Definition/

矢量场 F⃗(r⃗)\vec{F}(\vec{r}) 在参数曲线 γ\gamma 上的积分为

∫γF⃗⋅dr⃗=∫t0t1F⃗(r⃗)⋅r⃗′(t)dt\int_\gamma\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}=\int_{t_0}^{t_1}\vec{F}(\vec{r})\cdot\vec{r}'(t)\text{d}t

其中 tt 是对曲线的一个参数化.

对于一个平面参数曲线 γ(t)=(x(t),y(t))\gamma(t)=(x(t),y(t))，t∈[t0,t1]t\in[t_0,t_1]，亦可以相似定义.

这时有同学要问：我们在定义第一型积分时，并未要求选好一个参数化，按理来说输入任何一个参数化都可以输出同样的结果；但是这里我们要求输入一个具体的参数曲线. 那么在这里我们能不能证明这个积分与参数化的选择无关？

记 Im(γ)=\text{Im}(\gamma)= 曲线 LL，是否可将积分视为 LL 上的积分而非 γ\gamma 上的积分？

上述积分可以用一型的曲线积分表出.

∫γF⃗⋅dr⃗=∫t0t1(Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t))dt=∫t0t1(F⃗⋅γ′(t))dt=∫t0t1(F⃗⋅γ′(t)∣γ′(t)∣)⋅∣γ′(t)∣dt=∫L(F⃗⋅e⃗)dl\begin{aligned} \int_{\gamma}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}&=\int_{t_0}^{t_1}(Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t))\text{d}t\\ &=\int_{t_0}^{t_1}(\vec{F}\cdot\gamma'(t))\text{d}t\\ &=\int_{t_0}^{t_1}\left(\vec{F}\cdot\frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}\right)\cdot|\gamma'(t)|\text{d}t\\ &=\int_L(\vec{F}\cdot\vec{e})\text{d}l \end{aligned}

其中，e⃗(γ(t))=γ′(t)/∣γ′(t)∣\vec{e}(\gamma(t))=\gamma'(t)/|\gamma'(t)|.

回忆：切向量.

MM 在点 PP 处的切向量是 MM 上的运动在 PP 处产生的速度.

可知：

γ′(t)∣γ′(t)∣∈Tγ(t)L\frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}\in\text{T}_{\gamma(t)}L

且模长为 11.

{e⃗(γ(t))}\{\vec{e}(\gamma(t))\} 是在 LL 上每点处给出一个单位切向量，且连续依赖于 tt，称 {r⃗(γ(t))}\{\vec{r}(\gamma(t))\} 为 LL 的一个定向.

提示

中国数学家吴文骏说，他个人认为 19 世纪数学界的最大成就是定义了什么是定向.

/Definition/

设 LL 是一条曲线，所谓 LL 的一个定向，指如下数据：

在 LL 的每点 (x,y,z)(x,y,z) 处指出该点处 LL 的一个单位切向量 e⃗(x,y,z)∈T(x,y,z)L\vec{e}(x,y,z)\in\text{T}_{(x,y,z)}L，且 e⃗\vec{e} 随着 (x,y,z)(x,y,z) 连续变化.

(即 e⃗:L→R3\vec{e}:L\to\R^3 是连续的)

记为 O={e⃗(x,y,z)}(x,y,z)∈L\mathcal{O}=\{\vec{e}(x,y,z)\}_{(x,y,z)\in L} (orientation, 定向)

/Definition/

称 LL 是可定向的，若 LL 有一个定向；

称 LL 是定向的，若 LL 上已经赋予了一个定向.

(即，有一个 pair (L,O)=L⃗(L,\mathcal{O})=\vec{L}，称 L⃗=(L,O)\vec{L}=(L,\mathcal{O}) 为一个定向的曲线.

/Definition/

设 L⃗=(L,O={e⃗(x,y,z)}(x,y,z)∈L)\vec{L}=(L,\mathcal{O}=\{\vec{e}(x,y,z)\}_{(x,y,z)\in L}) 是一条定向曲线，对于 LL 上的矢量值函数 F⃗\vec{F}，定义 F⃗\vec{F} 在 L⃗\vec{L} 上的第二型积分为

∫L(F⃗⋅e⃗)dl\int_L(\vec{F}\cdot\vec{e})\text{d}l

还可以记为：

∫L⃗F⃗⋅dr⃗ or ∫L⃗(Pdx+Qdy+Rdz)\int_{\vec{L}}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}\text{ or }\int_{\vec{L}}(P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z)

(F⃗\vec{F} 与定向系统 e⃗\vec{e} 内积，再做第 I\text{I} 型积分)

/Claim/

连通曲线 LL 上至多两个定向.

/Proof/

设 O1={e⃗1(x,y,z)}\mathcal{O}_1=\{\vec{e}_1(x,y,z)\} 和 O2={e⃗2(x,y,z)}\mathcal{O}_2=\{\vec{e}_2(x,y,z)\} 都是 LL 上的定向，由 T(x,y,z)L\text{T}_{(x,y,z)}L 是一维的，以及 ei(x,y,z)∈Tx,y,zLe_i(x,y,z)\in\text{T}_{x,y,z}L 是单位长度，知道：

e⃗2(x,y,z)=±e⃗1(x,y,z)\vec{e}_2(x,y,z)=\pm\vec{e}_1(x,y,z)

也就是

g(x,y,z)=∣e⃗2(x,y,z)−e⃗1(x,y,z)∣∈{0,2}g(x,y,z)=|\vec{e}_2(x,y,z)-\vec{e}_1(x,y,z)|\in\{0,2\}

而 g:L→{0,2}g:L\to\{0,2\} 是连续的，由介值定理，gg 要么恒等于 00，要么恒等于 22. 所以只有两种可能的定向.

/Definition/

设 O={e⃗(x,y,z)}\mathcal{O}=\{\vec{e}(x,y,z)\} 为 LL 的一个定向，则称 {−e⃗(x,y,z)}\{-\vec{e}(x,y,z)\} 为 O\mathcal{O} 的反定向，记为 −O-\mathcal{O}.

到这里我们能再进一步说：

/Claim/

对于连通曲线 LL，恰有两个定向.

证明这个命题，我们要先定义曲线，然后证明 LL 上有一个定向. 但是鉴于我们的课程并没有定义何为曲线，所以我们在这里不作证明. 一种 sketch 如下：

曲线的每一点 PP 有一个开邻域 UU 同胚于 R\R，之后取一个参数化，我们知道一个参数化 γ(t)\gamma(t) 给出 LL 的一个定向，之后易证有两个定向.

/Claim/

若 LL 是 nn 个连通曲线的不交并，则 LL 有 2n2^n 个定向.

显而易见.

举一个简单的例子，对于一个圆，我们可以定义顺时针定向、逆时针定向 (负顺时针).

具体如何计算第二型积分？

  1. 选 LL 的一个参数化 γ(t)\gamma(t) (a≤t≤ba\leq t\leq b).

    需要判断参数化与 L⃗\vec{L} 的定向 O={e⃗(x,y,z)}\mathcal{O}=\{\vec{e}(x,y,z)\} 是相容还是相反，这两者相差一个符号：

    γ′(t)∣γ′(t)∣=e⃗(γ(t)) ,∀γ\frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}=\vec{e}(\gamma(t))\,,\quad\forall\gamma

    为相容的情况，反之则相反.

  2. 选参数化 γ(t)\gamma(t) 与定向相容. 则

    ∫L⃗F⃗⋅dr⃗=∫L(F⃗⋅e⃗)dl=∫abF⃗(γ(t))⋅e⃗(γ(t))∣γ′(t)∣dt=∫abF⃗(γ(t))⋅γ′(t)∣γ′(t)∣⋅∣γ′(t)∣dt=∫abF⃗(γ(t))γ′(t)dt=∫ab(Px′+Qy′+Rz′)dt\begin{aligned} \int_{\vec{L}}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}&=\int_L(\vec{F}\cdot\vec{e})\text{d}l\\ &=\int_a^b\vec{F}(\gamma(t))\cdot\vec{e}(\gamma(t))|\gamma'(t)|\text{d}t\\ &=\int_a^b\vec{F}(\gamma(t))\cdot\frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}\cdot|\gamma'(t)|\text{d}t\\ &=\int_a^b\vec{F}(\gamma(t))\gamma'(t)\text{d}t\\ &=\int_a^b(Px'+Qy'+Rz')\text{d}t \end{aligned}

总结：最好选择与定向相容的参数化. 公式为

∫L⃗F⃗⋅dr⃗=∫ab(Px′+Qy′+Rz′)dt\int_{\vec{L}}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}=\int_a^b(Px'+Qy'+Rz')\text{d}t

如果一定要取另一种参数化 / 定向反转，则积分相差 −1-1 倍.

更加形式化的记忆方式是

∫L⃗(Pdx+Qdy+Rdz)=∫ab(Px′+Qy′+Rz′)dt\int_{\vec{L}}(P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z)=\int_a^b(Px'+Qy'+Rz')\text{d}t

下面看两个例子：

/Example/ (Gauss 积分)

F⃗=(−yx2+y2,xx2+y2)\vec{F}=\left( -\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2} \right)

这其实是无限长电流的磁场. 求：

∫CF⃗⋅dr⃗\int_C\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}

(CC 为逆时针)

参数化：(x(t),y(t))=(Rcos⁡t,Rsin⁡t)(x(t),y(t))=(R\cos t,R\sin t)，得到

I=∫02π−Rsin⁡td(Rcos⁡t)+Rcos⁡td(Rsin⁡t)R2=2πI=\int_0^{2\pi}\frac{-R\sin t\text{d}(R\cos t)+R\cos t\text{d}(R\sin t)}{R^2}=2\pi

提示

这说明磁场绕一圈做功为 2π2\pi. (确信.jpg)

是做功吗？正确. —— 艾神

另一算法是取逆时针定向：

I=∫C(−yR2,xR2)(−yR,xR)dl=2πI=\int_C\left(-\frac{y}{R^2},\frac{x}{R^2}\right)\left(-\frac{y}{R},\frac{x}{R}\right)\text{d}l=2\pi

更新日志

2025/10/9 02:50
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