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Lesson 6

约 2512 字大约 8 分钟

2024-09-27

Cauchy收敛准则

/Definition/

称{xn}\{x_n\}是Cauchy序列，若∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃N∈Z+\exist N\in\Z_+，∀m,n≥N\forall m,n\geq N有∣xm−xn∣<ε|x_m-x_n|<\varepsilon.

/Theorem/

R\R中任何Cauchy列都有极限. 即{xn}\{x_n\}收敛 ⟺\Longleftrightarrow {xn}\{x_n\}是Cauchy列.

/Proof/

上节课已经证明完充分性，现在证必要性，也就是从右至左证明. 显然只能使用夹逼定理.

令an=inf⁡{xn,xn+1,⋯ }a_n=\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}，bn=sup⁡{xn,xn+1,⋯ }b_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}. 则有如下几个结论：

  1. an≤xn≤bna_n\leq x_n\leq b_n.
  2. a1≤a2≤⋯≤an≤bn≤⋯≤b2≤b1a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n\leq b_n\leq\cdots\leq b_2\leq b_1.

{an}\{a_n\}和{bn}\{b_n\}是单调且有界的，故由MCT可知，均有极限. lim⁡n→∞an=A\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=A，lim⁡n→∞bn=B\underset{n\to\infty}{\lim}b_n=B.

接下来证明A=BA=B. 首先，A≤BA\leq B是显然的.

对于A≥BA\geq B的证明，我们只能应用Cauchy列的定义，

草稿：关心B−AB-A，≈bn−an\approx b_n-a_n，≈sup⁡−inf⁡\approx\sup-\inf，≈sup⁡{xk−xl}\approx\sup\{x_k-x_l\}（k,l≥nk,l\geq n）.

定义∀n≥N\forall n\geq N，令X={xn,xn+1,⋯ }X=\{x_n,x_{n+1},\cdots\}.

引理：sup⁡(X−Y)=sup⁡X−inf⁡Y\sup(X-Y)=\sup X-\inf Y.

/Proof/

∀x∈X\forall x\in X，∀y∈Y\forall y\in Y有x−y≤sup⁡X−inf⁡Yx-y\leq\sup X-\inf Y，说明是上界.

接下来说明是最小上界：∀ε>0\forall\varepsilon>0，∀c=sup⁡X−inf⁡Y−ε\forall c=\sup X-\inf Y-\varepsilon不是上界.

由sup⁡X\sup X定义，sup⁡X−ε/2<x\sup X-\varepsilon/2<x，同理，∃y\exist y，y<inf⁡Y+ε/2y<\inf Y+\varepsilon/2. 从而存在x−y>(sup⁡X−ε/2)−(inf⁡Y+ε/2)=sup⁡X−inf⁡Y−εx-y>(\sup X-\varepsilon/2)-(\inf Y+\varepsilon/2)=\sup X-\inf Y-\varepsilon.

是最小上界.

证毕.

考虑sup⁡(X−X)\sup(X-X)，则有sup⁡(X−X)=sup⁡X−inf⁡X=bn−an\sup(X-X)=\sup X-\inf X=b_n-a_n. 由定义知道，XX中任意两项之差<ε<\varepsilon，表明ε\varepsilon是(X−X)(X-X)的上界.

从而sup⁡(X−X)≤ε\sup(X-X)\leq\varepsilon，进而bn−an<εb_n-a_n<\varepsilon（∀n≥N\forall n\geq N）. 用极限不等式，

B−A=lim⁡n→∞(bn−an)≤ε ,∀ε>0B-A=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)\leq\varepsilon\,,\quad\forall\varepsilon>0

而B−A≥0B-A\geq0，所以B−A=0B-A=0.

由夹逼定理，{xn}\{x_n\}的极限lim⁡n→∞xn=A=B\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=A=B. 必要性得证.

证毕.

注意，Cauchy收敛准则是充分必要条件，而MCT是充分不必要条件.

/Example/

xn=cos⁡θ12+⋯+cos⁡nθn2x_n=\frac{\cos\theta}{1^2}+\cdots+\frac{\cos n\theta}{n^2}，证明收敛.

/Proof/

用Cauchy准则，只需证{xn}\{x_n\}是Cauchy列.

为此∀ε>0\forall\varepsilon>0，取定NN.

草稿：∀m>n≥N\forall m>n\geq N，

∣xm−xn∣=∣∑k=n+1mcos⁡kθk2∣≤∑k=n+1m1k2<∑k=n+1m1k(k−1)=1n−1m<1n≤1N<ε\begin{aligned} |x_m-x_n|&=|\sum_{k=n+1}^m\frac{\cos k\theta}{k^2}|\\\\ &\leq\sum_{k=n+1}^m\frac{1}{k^2}<\sum_{k=n+1}^m\frac{1}{k(k-1)}\\\\ &=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}<\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\varepsilon \end{aligned}

把NN取为⌊1/ε⌋+1\lfloor1/\varepsilon\rfloor+1即可.

证毕.

接下来看一个untrivial的例子：

在一般度量空间也可定义点列极限&Cauchy列.

/Definition/

所谓一个度量空间，是指集合XX和度量d:X×X→R>0d:X\times X\to\R_{>0}，度量指的是XX中x,yx,y两点间的距离.

满足如下度量公理：

  1. 对称性：d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)，∀x,y∈X\forall x,y\in X.
  2. 正定性：d(x,y)=0d(x,y)=0 ⟺\Longleftrightarrow x=yx=y.
  3. 三角不等式：d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z). （两边之和大于第三边）

其中三角不等式是核心内容.

记上述度量空间为(X,d)(X,d)，上下文明确时，简记为XX.

/Example/

Euclidian空间，度量定义为d(x,y)=∑k=1n(xk−yk)2d(\bold{x},\bold{y})=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2}.

/Example/

二维球面，度量定义为连接两点之间的大圆弧的劣弧长度.

/Definition/

设{xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty是度量空间(X,l)(X,l)中的一个无穷点列，称{xn}\{x_n\}收敛于L∈XL\in X，若∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃N∈Z+\exist N\in\Z_+，∀n≥N\forall n\geq N，有d(xn,L)<εd(x_n,L)<\varepsilon.

有了上面的定义，我们就可以定义Cauchy列：

/Definition/

d(xn,xm)<εd(x_n,x_m)<\varepsilon，对于∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃N∈Z+\exist N\in\Z_+，∀n,m≥N\forall n,m\geq N.

由此知，{xn}\{x_n\}收敛 ⟹\Longrightarrow {xn}\{x_n\}是Cauchy列.

/Proof/ 同上节课证明.

注意：一般(X,d)(X,d)中Cauchy列未必收敛！

/Example/

X=QX=\mathbb{Q}，d(x,y)=∣x−y∣d(x,y)=|x-y|，在R\R中的数列收敛于2\sqrt2，那么其在R\R中是Cauchy列，于是在Q\mathbb{Q}中也是Cauchy列，但是它在Q\mathbb{Q}中显然不收敛.

称一个度量空间是完备的，当且仅当其中的Cauchy列收敛.

接下来要讲压缩映像定理. 这个定理在本课程中将用到两次：

  1. 多元函数的反函数Theorem
  2. ODE（一元常微分方程）的初值问题有唯一短期解

目标：证明自映射T:X→XT:X\to X有不动点（不动点T(x)=xT(x)=x）.

/Theorem/ （压缩映像）

设(X,d)(X,d)是完备的度量空间，T:X→XT:X\to X是一个压缩映射（即∃\exist常数0<c<10<c<1，使得对∀x,y∈X\forall x,y\in X有d(T(x),T(y))≤c⋅d(x,y)d(T(x),T(y))\leq c\cdot d(x,y)），则TT有唯一不动点.

怎么找这个不动点呢？我们不断地去对一个点x1x_1做TT映射，则每一次的结果xnx_n都与上一次的结果越来越近，我们越来越有理由说我们找到不动点了. 我们猜测lim⁡n→∞xn\underset{n\to\infty}{\lim}x_n是不动点.

/Proof/

任取x0∈Xx_0\in X，

/Definition/

{xn}n=0∞\{x_n\}_{n=0}^\infty为xn+1=T(xn)x_{n+1}=T(x_n)，∀n≥0\forall n\geq0.

因为度量空间是完备的，所以只需证明是Cauchy列就能证明存在极限uu.

我们的证明需要3步：

  1. 证明{xn}\{x_n\}是Cauchy列
  2. 证明T(u)=uT(u)=u
  3. 证明不动点的唯一性

我们先来证第2步：

d(T(xn),T(u))≤c⋅d(xn,u)d(T(x_n),T(u))\leq c\cdot d(x_n,u) (∗)(*)

引理：lim⁡n→∞xn=u\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u ⟺\Longleftrightarrow lim⁡n→∞d(xn,u)=0\underset{n\to\infty}{\lim}d(x_n,u)=0

/Proof/

RHS⟺∣d(xn,u)−0∣<ε⟺d(xn,u)<ε⟺lim⁡n→∞xn=u\begin{aligned} \text{RHS}&\Longleftrightarrow|d(x_n,u)-0|<\varepsilon\\\\ &\Longleftrightarrow d(x_n,u)<\varepsilon\\\\ &\Longleftrightarrow\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u \end{aligned}

即为LHS\text{LHS}.

证毕.

由lim⁡n→∞xn=u\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u，得到lim⁡n→∞d(xn,u)=0\underset{n\to\infty}{\lim}d(x_n,u)=0.

对(∗)(*)式使用夹逼定理，得到lim⁡n→∞d(T(xn),T(u))=0\underset{n\to\infty}{\lim}d(T(x_n),T(u))=0.

所以lim⁡n→∞T(xn)=T(xn)\underset{n\to\infty}{\lim}T(x_n)=T(x_n)，即lim⁡n→∞T(u)=T(u)=lim⁡n→∞xn=u\underset{n\to\infty}{\lim}T(u)=T(u)=\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=u.

证毕.

第3步：

反证法，假设有u,vu,v两个不动点，则

d(T(u),T(v))=d(u,v)≤c⋅d(u,v)d(T(u),T(v))=d(u,v)\leq c\cdot d(u,v)

只能有u=vu=v.

证毕.

最后来证第1步：

对∀m>n\forall m>n有：d(T(n)(xm−n),T(n)(x0))≤cn⋅d(xm−n,x0)d(T^{(n)}(x_{m-n}),T^{(n)}(x_0))\leq c^n\cdot d(x_{m-n},x_0) (∗)(*)

d(x0,xk)≤d(x0,x1)+d(x1,x2)+⋯+d(xk−1,xk)≤d(x0,x1)+c⋅d(x0,x1)+⋯+ck−1⋅d(x0,x1)=(1+c+⋯+ck−1)d(x0,x1)≤11−cd(x0,x1)\begin{aligned} d(x_0,x_k)&\leq d(x_0,x_1)+d(x_1,x_2)+\cdots+d(x_{k-1},x_k)\\\\ &\leq d(x_0,x_1)+c\cdot d(x_0,x_1)+\cdots+c^{k-1}\cdot d(x_0,x_1)\\\\ &=(1+c+\cdots+c^{k-1})d(x_0,x_1)\\\\ &\leq\frac{1}{1-c}d(x_0,x_1) \end{aligned}

进而由(∗)(*)式得，

d(xm,xn)≤cn⋅d(x0,xm−n)≤cn1−cd(x0,x1) ,∀m>nd(x_m,x_n)\leq c^n\cdot d(x_0,x_{m-n})\leq\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)\,,\quad\forall m>n

这个式子称为(∗∗)(**)式.

上面这个式子表明{xn}\{x_n\}是Cauchy列，因为

∀ε>0\forall\varepsilon>0，由lim⁡n→∞cn1−cd(x0,x1)=0<ε\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)=0<\varepsilon，知∃N∈Z+\exist N\in\Z_+，∀n≥N\forall n\geq N有

cn1−cd(x0,x1)<ε\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)<\varepsilon

进而应用(∗∗)(**)得∀m>n≥N\forall m>n\geq N有：

d(xm,xn)≤cn1−cd(x0,x1)<εd(x_m,x_n)\leq\frac{c^n}{1-c}d(x_0,x_1)<\varepsilon

完成验证.

证毕.

证毕.

上、下极限

回忆在Cauchy准则的证明中，使用如下方法：

对{xn}\{x_n\}，定义an=inf⁡{xn,xn+1,⋯ }a_n=\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}，且ana_n单调递增、有上界，则存在lim⁡n→∞an=A\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=A，这称为{xn}\{x_n\}的下极限.

/Definition/

对任何实数数列{xn}\{x_n\}，定义

an={inf⁡{xn,⋯ } ,if ∃inf⁡{xn,⋯ }−∞ ,elsea_n=\left\{\begin{array}{lr} \inf\{x_n,\cdots\}\,,\quad\text{if}\,\exist\inf\{x_n,\cdots\}\\ -\infty\,,\quad\text{else} \end{array}\right.

（严格定义下极限，虽然我个人认为这个太严格了没必要） （不行，后面可能要用）

注记：若∃n∈Z+\exist n\in\Z_+，an∈Ra_n\in\R，则{xn,⋯ }\{x_n,\cdots\}有下界，对于∀m≥n\forall m\geq n，{xm,⋯ }\{x_m,\cdots\}当然有下界；而对于∀m<n\forall m<n，只要是增加有限项，仍然存在下界.

可知，{an}\{a_n\}只有两种可能，1.是每一项均为−∞-\infty，2.是每一项均∈R\in\R.

对于第2.种情况，也要分类讨论，若{an}\{a_n\}无上界，则下极限为+∞+\infty，若有上界，下极限是lim⁡n→∞an\underset{n\to\infty}{\lim}a_n.

统一形式化为：

下极限

lim⁡inf⁡n→∞xn=lim⁡n→∞(inf⁡{xn,xn+1,⋯ })={−∞ ,∄inf⁡{xn,xn+1,⋯ }+∞ ,∃inf⁡{xn,xn+1,⋯ } , ∄sup⁡{an}lim⁡an ,∃inf⁡{xn,xn+1,⋯ } , ∃sup⁡{an}\begin{aligned} \underset{n\to\infty}{\lim\inf}x_n&=\underset{n\to\infty}{\lim}(\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\})\\\\ &=\left\{\begin{array}{lr} -\infty\,,\quad\nexists\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\\ +\infty\,,\quad\exist\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\nexists\sup\{a_n\}\\ \lim a_n\,,\quad\exist\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\exist\sup\{a_n\} \end{array}\right. \end{aligned}

上极限（同理）

lim⁡sup⁡n→∞xn=lim⁡n→∞(sup⁡{xn,xn+1,⋯ })={+∞ ,∄sup⁡{xn,xn+1,⋯ }−∞ ,∃sup⁡{xn,xn+1,⋯ } , ∄inf⁡{bn}lim⁡bn ,∃sup⁡{xn,xn+1,⋯ } , ∃inf⁡{bn}\begin{aligned} \underset{n\to\infty}{\lim\sup}x_n&=\underset{n\to\infty}{\lim}(\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\})\\\\ &=\left\{\begin{array}{lr} +\infty\,,\quad\nexists\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\\ -\infty\,,\quad\exist\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\nexists\inf\{b_n\}\\ \lim b_n\,,\quad\exist\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\,,\,\exist\inf\{b_n\} \end{array}\right. \end{aligned}

注记：与极限不同，任何数列{xn}\{x_n\}皆可定义上/下极限，而极限未必存在.

之后讲幂级数收敛半径的Cauchy-Hadamard公式需要上极限：∑anxn\sum a_nx^n的收敛半径为

1lim⁡sup⁡n→∞(∣an∣n)\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\lim\sup}(\sqrt[n]{|a_n|})}

/Claim/

{xn}\{x_n\}收敛 ⟺\Longleftrightarrow lim⁡sup⁡n→∞xn=lim⁡inf⁡n→∞xn∈R\underset{n\to\infty}{\lim\sup}x_n=\underset{n\to\infty}{\lim\inf}x_n\in\R

/Proof/

证明“⟸\Longleftarrow”

由上，下极限定义，再用夹逼定理，即证.

证毕.

证明“⟹\Longrightarrow”

设{xn}\{x_n\}收敛，记lim⁡n→∞xn=L\underset{n\to\infty}{\lim}x_n=L. 由定义，∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃N∈Z+\exist N\in\Z_+，∀x≥N\forall x\geq N有L−ε<xn<L+εL-\varepsilon<x_n<L+\varepsilon.

表明∀x≥N\forall x\geq N有bn=sup⁡{xn,xn+1,⋯ }≤L+εb_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}\leq L+\varepsilon，下界同理，取极限：

lim⁡n→∞bn≤L+ε\underset{n\to\infty}{\lim}b_n\leq L+\varepsilon，这说明：

L−ε≤lim⁡n→∞an≤lim⁡n→∞bn≤L+εlim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=L\begin{aligned} L-\varepsilon\leq\underset{n\to\infty}{\lim}a_n&\leq\underset{n\to\infty}{\lim}b_n\leq L+\varepsilon\\\\ \underset{n\to\infty}{\lim}a_n&=\underset{n\to\infty}{\lim}b_n=L \end{aligned}

证毕.

证毕.

计算极限的其他方法——Stolz定理

这个定理实际上是L’Ho^pital\text{L'H}\hat{\text{o}}\text{pital}法则的离散版本.

先来说一说L’Ho^pital\text{L'H}\hat{\text{o}}\text{pital}法则：

/Theorem/

有两种情形：

  1. lim⁡f=0\lim f=0，lim⁡g=0\lim g=0，称为0/00/0型，此时有

    lim⁡fg=lim⁡f′g′\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}

  2. lim⁡g=∞\lim g=\infty，称为?/∞?/\infty型，此时有

    lim⁡fg=lim⁡f′g′\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}

类比上述定理，可以写出Stolz定理：

/Theorem/

  1. 0/00/0型：设{an}\{a_n\}和{bn}\{b_n\}收敛于00，则

    lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an+1−anbn+1−bn\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}

  2. ?/∞?/\infty型：设{bn}\{b_n\}单调递增且无上界，则

    lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞an+1−anbn+1−bn\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}

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