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Lesson 3

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2024-09-20

先回顾一下上节课讲过的确界定理.

确界定理

对E∈RE\in\R定义sup⁡E=E\sup E=E的最小上界.

/Claim/

c=sup⁡Ec=\sup E ⟹\Longrightarrow ∀x∈E\forall x\in E有x≤cx\leq c；∀c′<c\forall c'<c，∃x∈E\exist x\in E使x>c′x>c'.

/Theorem/

有上界的非空实数集必有上确界； 有下界的非空实数集必有下确界.

（实际上，如果不想考虑上面的一些知识的话，可把实数定义&确界定理当作微积分的基础）

/Proof/（用Dedekind实数定义）

记E={Xα=(Aα,Bα)E=\{X_\alpha=(A_\alpha,B_\alpha)是Dedekind分割}\}，α∈\alpha\in指标集I≠∅I\neq\varnothing.

已知EE有上界c=(A,B)c=(A,B).

由cc是EE上界 ⟹\Longrightarrow xα≤cx_\alpha\leq c ⟹\Longrightarrow Aα⊆AA_\alpha\subseteq A ⟹\Longrightarrow ⋃α∈IAα⊆A\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha\subseteq A.

令s=(⋃α∈IAα,Q−⋃α∈IAα)s=(\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha,\mathbb{Q}-\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha)，易验证s=sup⁡Es=\sup E.

证毕.

验证ss是Dedekind分割：s=(A0,B0)s=(A_0,B_0).

  1. A0⊆QA_0\subseteq\mathbb{Q}，B0⊆QB_0\subseteq\mathbb{Q}，A0∪B0=QA_0\cup B_0=\mathbb{Q}.
  2. A0≠∅A_0\neq\varnothing（因为A0=⋃α∈IAαA_0=\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha，每个Aα≠∅A_\alpha\neq\varnothing.）（这里用到EE非空）
  3. 由A0⊆AA_0\subseteq A ⟹\Longrightarrow (A0)C⊇AC(A_0)^C\supseteq A^C B0⊇B≠∅B_0\supseteq B\neq\varnothing ⟹\Longrightarrow B0≠∅B_0\neq\varnothing. （这里用到EE有上界）
  4. A0=⋃α∈IAαA_0=\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha，B0=(⋃α∈IAα)C=⋂α∈I(Aα)C=⋂α∈IBαB_0=(\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha)^C=\underset{\alpha\in I}{\bigcap}(A_\alpha)^C=\underset{\alpha\in I}{\bigcap}B_\alpha. （这里用到“并集之补集等于补集之交集”） ∀a∈Aα\forall a\in A_\alpha，∀b∈Bα\forall b\in B_\alpha，由a∈A0=⋃α∈IAαa\in A_0=\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha ⟹\Longrightarrow a∈Aαa\in A_\alpha，同理b∈B0=⋂α∈IBαb\in B_0=\underset{\alpha\in I}{\bigcap}B_\alpha ⟹\Longrightarrow b∈Bαb\in B_\alpha，这就可以知道a<ba<b.
  5. A0A_0无最大元素：∀a∈A0\forall a\in A_0 ⟹\Longrightarrow a∈Aαa\in A_\alpha，由AαA_\alpha无最大元⟹\Longrightarrow ∃a′∈Aα\exist a'\in A_\alpha使a′>aa'>a.

验证s=sup⁡Es=\sup E：

注意任何c~=(A~,B~)∈RD\tilde{c}=(\tilde{A},\tilde{B})\in\R_D是EE的上界，有c~≥xα\tilde{c}\geq x_\alpha，∀α∈I\forall \alpha\in I，即A~⊇Aα\tilde{A}\supseteq A_\alpha，即A~⊇⋃α∈IAα=A0\tilde{A}\supseteq\underset{\alpha\in I}{\bigcup}A_\alpha=A_0，所以c~≥s\tilde{c}\geq s，证毕.

称确界定理描述了实数的完备性. （实际上，完备性指的是“R\R中任何Cauchy列必有极限”，但是现在还不讲）

简单的应用是证明如下几句话：

  1. ∀x∈R\forall x\in\R，∃n∈Z\exist n\in\Z使n>xn>x.
  2. 任意两个实数之间必有∞\infty个有理数.
  3. 任意两个有理数之间必有∞\infty个无理数.

/Proof/ 1.

反证法，假设每个n∈Zn\in \Z都有n≤xn\leq x，则xx是Z\Z的上界，由确界定理知道Z\Z有上确界MM. 进而∀n∈Z\forall n\in\Z，n+1∈Zn+1\in\Z，有n+1≤Mn+1\leq M，也就是n≤M−1n\leq M-1，表明M−1M-1也是Z\Z的上界，与MM是上确界（最小上界）矛盾.

所以假设不成立，1.成立.

证毕.

/Proof/ 2.

显然只需证明(∗)(*)式：∀\forall实数a<ba<b，(a,b)(a,b)中有一个c∈Qc\in\mathbb{Q}.

这之后就可以反复应用上面的(∗)(*)式来证明(a,b)(a,b)中存在∞\infty个有理数.

接下来来证(∗)(*). 想法是找一个“机器人”，从数轴左边往右走，只要其步长1/n<b−a1/n<b-a，就必定会掉入(a,b)(a,b)这一“陷阱”中. 这里可以发现n>1/(b−a)n>1/(b-a).

用1.知∃n∈Z\exist n\in\Z使n>1/(b−a)>0n>1/(b-a)>0；

草稿：起始点s/n<as/n<a，即s<ans<an，−s>−an-s>-an. 终点t/n>bt/n>b，t>nbt>nb.

用1.知∃u∈Z\exist u\in\Z使u>−anu>-an，令s=−u∈Zs=-u\in\Z ⟹\Longrightarrow −s>−an-s>-an ⟹\Longrightarrow s/n<as/n<a.

用1.知∃t∈Z\exist t\in\Z使t>nbt>nb ⟹\Longrightarrow t/n>bt/n>b.

对于ss，s+1s+1，⋯\cdots，tt中的每个数kk，标记k/n≤ak/n\leq a为❌，k/n>ak/n>a为✔，则一定存在首个✔，记为k0k_0.

这样k0/n>ak_0/n>a，(k0−1)/n≤a(k_0-1)/n\leq a，且有

k0n=k0−1n+1n<a+(b−a)=b\frac{k_0}{n}=\frac{k_0-1}{n}+\frac{1}{n}<a+(b-a)=b

这就证明了k0/n∈(a,b)∩Qk_0/n\in(a,b)\cap\mathbb{Q}.

证毕.

/Proof/ 3.

利用2.结论，(a−2,b−2)(a-\sqrt2,b-\sqrt2)中存在∞\infty个有理数，记为xx. 利用2\sqrt2是无理数，(a,b)(a,b)中存在y=x+2y=x+\sqrt2，是无理数且有∞\infty个.

证毕.

Q\mathbb{Q}和QC=R−Q\mathbb{Q}^C=\R-\mathbb{Q}都是无限集，是否能进一步比较多少？

/Definition/

称集合AA与BB等势，当且仅当∃\exist双射f:A→Bf:A\to B.

/Definition/

称集合AA是可数的，如果AA与Z+\Z_+等势.

/Claim/

可数多个可数集之并仍可数.

/Proof/

设A1A_1，A2A_2，⋯\cdots是可数多个可数集，由AiA_i可数，可以设Ai={xi,1,xi,2,⋯ }A_i=\{x_{i,1},x_{i,2},\cdots\}. 可以将⋃∞i=1Ai\underset{i=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}A_i的元素分类为下标和相同的组，这种排列可数.

证毕.

/Claim/

Q\mathbb{Q}可数.

/Proof/

Q=⋃∞i=1{mn∣m∈Z}=⋃∞i=1Ai\mathbb{Q}=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}\{\frac{m}{n}|m\in\Z\}=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}A_i. AiA_i可数.

证毕.

/Theorem/ （Cantor）

R\R不可数（因为Q\mathbb{Q}可数，所以这实际上可以推出QC\mathbb{Q}^C不可数）.

/Proof/ （Cantor对角线法则）

Cantor证明这个定理时还没有Dedekind分割定义，所以他使用的是无穷小数的定义. 考虑证明一个更强的结论，[0,1][0,1]不可数. 把区间中的数表示为无穷小数，采用反证法：假设这些小数分别是

x1=0.x11x12x13⋯‾x2=0.x21x22x23⋯‾x3=0.x31x32x33⋯‾x_1=\overline{0.x_{11}x_{12}x_{13}\cdots}\\ x_2=\overline{0.x_{21}x_{22}x_{23}\cdots}\\ x_3=\overline{0.x_{31}x_{32}x_{33}\cdots}

我们要求一个这样的数xmx_m存在，满足：

xm1≠x11 ,xm2≠x22 ,xm3≠x33 ,⋯x_{m1}\neq x_{11}\,,\quad x_{m2}\neq x_{22}\,,\quad x_{m3}\neq x_{33}\,,\cdots

这样就保证了xmx_m不等于上面列表中的任何一个数，从而导出了矛盾：不管数出多少个[0,1][0,1]之间的数，都能找到一个数不在这个列表中，故假设不成立，不可数.

/Moreover/

/Definition/

XX是R\R的稠密子集，当且仅当∀x∈R\forall x\in\R，∀ε∈R+\forall\varepsilon\in\R_+使(c−ε,c+ε)∩R≠∅(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\cap\R\neq\varnothing，其中c∈Rc\in\R.

/Claim/

Q\mathbb{Q}是R\R的稠密子集.

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