第二型曲线积分

$$\begin{aligned} \int_{\vec{L}}(P,Q,R)\cdot\text{d}\vec{r}&=\int_{\vec{L}}(P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z)\\ &=\int_L((P,Q,R)\cdot\vec{e})\text{d}l\\ &=\int_{a}^b(P(\vec{r}(t))x'(t)+Q(\vec{r}(t))y'(t)+R(\vec{r}(t))z'(t))\text{d}t \end{aligned}$$

/Example/

注：若 $L$ 为闭合曲线，则积分号可以加一个圈. 当然大多数情况下并没有必要特别写出.

计算积分：

$$\oint_L(xy\text{d}x+yz\text{d}y+zx\text{d}z)$$

其中，$L$ 为

$$\left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+z=1 \end{array}\right.$$

定向定义为：从 $z=\infty$ 看曲线，曲线为逆时针方向.

---

引入正交变换：

$$\begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cdots&\cdots&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ 1/\sqrt3&1/\sqrt3&1/\sqrt3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

上面两行可以通过正交性来导出. 新的 $L'$ 变为

$$\left\{\begin{array}{ll} u^2+v^2+w^2=1\\ w=\sqrt3/3 \end{array}\right.$$

这是新坐标系下的纬线圈. 现在我们需要判断曲线的诱导定向是什么方向. 回忆线性代数的内容：

/Theorem/

$Q\in M_{3\times3}$ 是特殊正交的 ($\det Q=1$ 的正交矩阵) $\Longleftrightarrow$ $Q$ 可以表示为旋转的复合.

简单地理解：特殊正交变换保持定向 / 保持时钟转向.

提示

艾神的奇妙比喻：你坐云霄飞车的时候并没有发现过自己的手表倒转.

到这里就能确定变换矩阵：

$$Q=\begin{pmatrix} 1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\ 1/\sqrt6&1/\sqrt6&-2/\sqrt6\\ 1/\sqrt3&1/\sqrt3&1/\sqrt3 \end{pmatrix}$$

可以验证 $\det Q=1$. 同时也可以计算之前观察者所在的位置：

$$\begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\ 1/\sqrt6&1/\sqrt6&-2/\sqrt6\\ 1/\sqrt3&1/\sqrt3&1/\sqrt3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\\infty \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-\infty\\\infty \end{pmatrix}$$

这个位置看纬线圈，也是逆时针的.

$L'$ 有和之前的 $L$ 一样的定向，可以取一个与定向相容的参数化：

$$u=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos t\,,\quad v=\frac{\sqrt3}{3}\sin t\,,\quad w=\frac{\sqrt3}{3}$$

之后用逆矩阵来写新坐标下的积分变量.

第二型曲面积分

这样的积分最开始来源于物理中流体的流量、磁场的通量等等.

/Example/ (三维流体)

三维流体，流场中每个点 $(x,y,z)$ 的流速是 $\vec{v}(x,y,z)=(P,Q,R)$. 问：单位时间内，流出 $S$ 的流量？

---

自从了解 Riemann 和之后，我们对连续求和的做法一直是取剖分、寻找代表点、近似求和、取极限.

这里取剖分 $S=\underset{i}{\bigcup}S_i$，计算 $\Delta t$ 时间内流出 $S_i$ 的液体体积. 因为是微元，可以认为内部的流速相等；同时这个小的 $S_i$ 可以取一个斜六面体，得到体积为

$$\mathcal{Vol}(S_i)\approx\text{area}(A_i)\cdot(\vec{v}\cdot\hat{n})\Delta t$$

其中，$\hat{n}$ 是点 $(x_i,y_i,z_i)$ 处指向外侧的法向量. 同时，这个流量可以保留符号，因为这样可以判断是流入还是流出.

得到总的流量 (Riemann 和)：

$$Q=\sum\text{area}(A_i)(\vec{v}(x_i,y_i,z_i)\Delta t\cdot\hat{n}(x_i,y_i,z_i))$$

取极限：

$$\begin{aligned} Q&=\lim_{S_i}\sum\text{area}(A_i)(\vec{v}(x_i,y_i,z_i)\cdot\hat{n}(x_i,y_i,z_i))\Delta t\\ &=\iint_S(\vec{v}(x,y,z)\cdot\hat{n}(x,y,z))\text{d}S \end{aligned}$$

这样就定义好了一个第二型曲面积分.

/Definition/ (曲面的定向)

设 $S\subseteq\R^2$ 是曲面，

(1) 点 $(x,y,z)\in S$ 处的法方向为与 $\text{T}_{p}S$ 垂直的方向. 也就是，$\{P$ 处 $S$ 的法方向$\}=(\text{T}_pS)^\perp$.

/Example/

若 $S=\{F(x,y,z)=0\}$，$\text{T}_{(x,y,z)}S=(\text{span}\{\nabla F(x,y,z)\})^\perp$，所以法方向就是 $\{\nabla F\}$ 方向.

(2) $S$ 有参数化 $\Phi:D\to S$ ($S\subseteq \R^3$)，$\phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$.

/Example/

对于 $p(t)=(u_0+t,v_0)$ 这个 $D$ 上的运动，诱导 $S$ 上的运动，在 $t=0$ 处产生的速度为 $\vec{x}_u$. 对于参数化的曲面，可以给出两个切向量：

$$\vec{x}_u=(x_u,y_u,z_u)\in\text{T}_pS\\ \vec{x}_v=(x_v,y_v,z_v)\in\text{T}_pS$$

回忆参数化的定义中，两个向量线性无关，所以它们张成的空间就是切空间. 因此这可以确定法方向：$\{\vec{x}_u\times\vec{x}_v\}$.

到此为止，我们可以对曲线的定向作出定义. 所谓曲面 $S(\subseteq\R^3)$ 的一个定向，是指如下的指定：

对于每点 $(x,y,z)\in S$，指定 $(x,y,z)$ 处 $S$ 的一个单位法向量 $\hat{n}(x,y,z)$. 要求 $\hat{n}$ 关于 $(x,y,z)$ 连续 (即 $\hat{n}:S\to\R^3$ 是连续的)，记 $\mathcal{O}=\{\hat{n}(x,y,z)\}_{(x,y,z)\in S}$ 为 $S$ 的一个定向.

对于曲面的定向，也可以有可定向曲面 / 定向曲面的说法.

但是曲面的定向比曲线的定向要复杂许多，存在不可定向的曲面，比如 Mobius 带，在这样的曲面上连续性和唯一性相互矛盾.

但是 Mobius 带毕竟是带边的曲面，有没有无边的例子？有：Klein 瓶.

Torus 环面指的是轮胎的表面，相当于将一根管子首尾相接；但是 Klein 瓶是将管子从外部穿进瓶身 (不可在 $\R^3$ 内实现)，首尾相接.

提示

艾神的奇妙理解：如果在 $\R^4$ 内部实现 Klein 瓶，你可以今天在瓶口的这个位置，明天换到另一位置，实现在时间轴上“穿过瓶身”.

(？？？)

反定向：$\mathcal{O}$ 的反定向 $-\mathcal{O}$ 为 $-\hat{n}$ 构成的集合. 定向曲面 $S=(S,\mathcal{O})$ 的反定向曲面为 $-S=(S,-\mathcal{O})$.

/Theorem/

$\R^3$ 中的封闭 $C^1$ 光滑曲面皆可定向.

这个定理的证明并不简单，需要证明 $S$ 将 $\R^3$ 分成内部和外部.

/Claim/

一个参数化 $\Phi:D\to S$ 诱导出 $S$ 的一个定向 $\mathcal{O}_\Phi$. 具体而言：

$$\hat{n}_\Phi(\Phi(u,v))=\frac{\vec{x}_u\times\vec{x}_v}{|\vec{x}_u\times\vec{x}_v|}$$

如果 $S=\{x,y,g(x,y)|x,y\in D\}$，有定向：

$$\hat{n}=\frac{(1,0,g_x)\times(0,1,g_y)}{|(1,0,g_x)\times(0,1,g_y)|}=\frac{(-g_x,-g_y,1)}{\sqrt{g_x^2+g_y^2+1}}$$

其 $z$ 分量为正，我们之后将这种定向简称为指向图像上方.

/Definition/ (第二型曲面积分)

设 $S=(S,\mathcal{O}=\hat{n}(x,y,z))$ 为定向曲面，定义

$$\iint_S\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}=\iint_S(\vec{F}\cdot\hat{n})\text{d}S$$

20 世纪以来，人们开始转向第二种写法：

$$\iint_S(P,Q,R)\cdot\text{d}\vec{S}=\iint_S(P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y)$$

(这里的顺序不可以随便交换)

性质：

(1) 反定向：

$$\iint_{-S}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}=-\iint_S\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}$$

(2) 将 $S$ 切开为 $S_1\cup S_2$ ($S_i$ 继承 $S$ 的定向)，则有

$$\iint_S\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}=\iint_{S_1}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}+\iint_{S_2}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}$$

如何计算？

取参数化 $\Phi:D\to S$ 和定向相容，则积分为

$$\begin{aligned} \iint_S\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}&=\iint_S(\vec{F}\cdot\hat{n})\text{d}S\\ &=\iint_DF(x(u,v),\cdots)\cdot\hat{n}(x(u,v),\cdots)|\vec{x}_u\times\vec{x}_v|\text{d}u\text{d}v\\ &=\iint_DF(\Phi(u,v))\cdot\frac{\vec{x}_u\times\vec{x}_v}{|\vec{x}_u\times\vec{x}_v|}\cdot|\vec{x}_u\times\vec{x}_v|\text{d}u\text{d}v\\ &=\iint_D(F\circ\Phi)\cdot(\vec{x}_u\times\vec{x}_v)\text{d}u\text{d}v\\ &=\iint_D\det\begin{pmatrix} P&Q&R\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v \end{pmatrix}\text{d}u\text{d}v \end{aligned}$$

/Example/

指向 $S$ 上方的定向：

$$\iint_S(P,Q,R)\cdot\text{d}\vec{S}=\iint_D(P,Q,R)\cdot(-g_x,-g_y,1)\text{d}x\text{d}y$$

/Example/ (Gauss 静电场)

静电场可以写成：

$$\vec{E}(x,y,z)=\frac{1}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$

Gauss 研究了很久这样一个通量：

$$\iint_S\vec{E}(x,y,z)\cdot\text{d}\vec{S}$$

---

取一个特例进行计算，考虑 $S$ 是半径为 $R$ 的球面，定向指向 $S$ 外部，则

$$\begin{aligned} \iint_{S_R}\vec{E}\cdot\text{d}\vec{S}&=\iint_{S_R}\vec{E}\cdot\frac{(x,y,z)}{R}\text{d}S\\ &=\iint_{S_R}\frac{(x,y,z)}{R^3}\frac{(x,y,z)}{R}\text{d}S\\ &=\frac{1}{R^2}\cdot\text{area}(S)=4\pi \end{aligned}$$

/Example/

$S=$ 上半球面 $=\{z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}|x^2+y^2\leq R^2\}$，取向上定向，得到

$$I=\iint_S(yz\text{d}z\text{d}x+zx\text{d}x\text{d}y)=\iint_S(0,yz,zx)\cdot\text{d}\vec{S}$$

注意

艾神的奇妙眩晕：同学们，我忽然感到有点眩晕. 不是数学上的，而是物理上的. 我觉得教室在旋转.

直接用上面提到过的例子：

$$I=\iint_{x^2+y^2\leq R^2}\det\begin{pmatrix} 0&yz&zx\\1&0&g_x\\0&1&g_y \end{pmatrix}\text{d}x\text{d}y$$

(其中 $z=g(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$)

Green 公式

也就是 Newton - Leibniz 公式的高维推广.

Newton - Leibniz 公式是：

$$\int_{[a,b]}F'=\int_a^bF'(x)\text{d}x=F|^b_a=\int_{\partial[a,b]}F$$

($\partial[a,b]$ 是 $[a,b]$ 的边界，也就是两个点)

Green 问：能不能在高维的情况下，将边界上的积分化为内部的一个积分？

local model：设

$$D=\left\{(x,y)\left|\begin{array}{} a\leq x\leq b\\ \phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x) \end{array}\right.\right\}$$

在 $\partial D$ 上做一个积分，有

$$\begin{aligned} I&=\int_{\partial D}P\text{d}x=\int_{\partial D}(P,\mathcal{O})\cdot\text{d}\vec{r}\\ &=\int_{C_1}+\int_{C_2}+\int_{C_3}+\int_{C_4}\\ &=\int_a^bP(x,\phi_1(x))\text{d}x-\int_a^bP(x,\phi_2(x))\text{d}x\\ &=-\int_a^b(P(x,\phi_2(x))-P(x,\phi_1(x)))\text{d}x\\ &=-\int_a^b\left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\text{d}y\right)\text{d}x\\ &\overset{\text{Fubini}}{=}-\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}\text{d}A \end{aligned}$$

总结得到：

$$\int_{\partial D}P\text{d}x=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}\text{d}A$$

/Theorem/ (Green 公式)

$$\int_{\partial D}(P\text{d}x+Q\text{d}y)=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}A$$

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