高阶导数 / 偏导数

设 $f$ 在 $D\subseteq\R^n$ 上处处有偏导数，得到偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}:D\to\R$，再考虑其偏导，得到定义：

/Definition/

若 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在 $\vec{x}_0$ 处有第 $j$ 个偏导数，称之为 $f$ 在 $\vec{x}_0$ 处的二阶偏导.

$$\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)\right|_{x=\vec{x}_0}$$

当然和偏导数一样，二阶偏导有很多记号：

$$\begin{aligned} &\left.\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial x_i} \right|_{x=\vec{x}_0}=\left.\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i} \right|_{x=\vec{x}_0}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(\vec{x}_0)=\frac{\partial^2f(\vec{x}_0)}{\partial x_j\partial x_i}\\\\ &=\partial_j(\partial_if)(\vec{x}_0)=\partial_j\partial_if(\vec{x}_0)=\partial_{x_j}\partial_{x_i}f(\vec{x}_0)=(f_{x_i})_{x_j}(\vec{x}_0)\\\\ &=f_{x_ix_j}(\vec{x}_0)=(f'_i)''_j(\vec{x}_0)=f''_{ij}(\vec{x}_0) \end{aligned}$$

注意：规则是离 $f$ 更近的先求导.

二阶偏导共有 $n^2$ 个，其中 $i=j$ 时有

$$\partial_i\partial_if=(\partial_i)^2f=f''_{ii}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_i}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}$$

接下来可以递归地定义高阶偏导：

/Definition/ (递归定义)

设 $D$ 上处处有 $k-1$ 阶偏导：

$$\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f:D\to\R$$

定义

$$\partial_{i_k}(\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f)(\vec{x}_0)=\partial_{i_k}\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f(\vec{x}_0)$$

称为 $f$ 的 (一个) $k$ 阶偏导.

从而我们能够计算任意高阶导数.

/Example/

Laplace 算子：

$$\nabla^2=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=\sum_{i=1}^n\partial_i^2$$

若 $f$ 有二阶偏导，定义

$$\nabla^2f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}=\sum_{i=1}^nf''_{ii}$$

/Example/

接着上面一个例子，我们考虑 $n\geq3$ 时，$f(\vec{x})=r^{2-n}:\R^n|0\to\R$，其中 $r$ 为场点到原点的距离，也就是 $(\sum x_i^2)^{1/2}$.

/Claim/

$\nabla^2(r^{2-n})=0$.

/Proof/

以下常用的结论 (需要记下来)：

$$\begin{aligned} \frac{\partial r}{\partial x_i}&=\frac{x_i}{r} \end{aligned}$$

得到：

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_i}(r^{2-n})&=(2-n)r^{1-n}\frac{\partial r}{\partial x_i}=(2-n)r^{-n}x_i\\\\ \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}r^{2-n} \right)&=\frac{\partial}{\partial x_j}((2-n)r^{-n}x_i)\\\\ &=(2-n)(-n)r^{-n-2}x_jx_i+(2-n)r^{-n}\\\\ \nabla^2(r^{2-n})&=\sum_{i}\left((2-n)(-n)r^{-n-2}x_i^2+(2-n)r^{-n} \right)\\\\ &=(2-n)\sum_i(-nr^{-n}+nr^{-n})=0 \end{aligned}$$

证毕.

由此我们可以定义：

/Definition/

称 $f$ 是 $D$ 上的调和函数 (harmonic)，若 $\nabla^2f=0$ on $D$.

由上面的例子，可以知道 $n\geq3$ 维中，$r^{2-n}$ 调和.

/Claim/

复可导 (全纯) 函数的实部和虚部均为调和函数.

/Proof/

设 $f:D (\subseteq\mathbb{C})\to\mathbb{C}$ 是全纯的，$f(x+y\text{i})=u(x,y)+v(x,y)\text{i}$. 称 $u,v$ 分别为 $f$ 的实部和虚部.

定义一个映射 $F(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$，已经证明过 $f$ 全纯 $\Longleftrightarrow$ $F$ 可微且 Cauchy - Riemann 条件成立，也就是：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\,,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

进而，

$$\begin{aligned} \nabla^2u&=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y} \right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x} \right)\\\\ &=\partial_x\partial_yv-\partial_y\partial_xv \end{aligned}$$

到这一步为止我们已经无法往下证明了.

我们需要的是二阶偏导可交换这一条件，这里有定理：

/Theorem/ (Schwartz - Clairaut)

若 $f\in C^2$，则 $\partial_i\partial_jf=\partial_j\partial_if$.

在复变函数中，我们会由 $f$ 全纯 $\longrightarrow$ Cauchy 积分公式，再证明 $f\in C^\infty$，之后利用上述定理证明命题. 我们的课程还无法覆盖这些内容.

但是这可以引出一些例子：

/Example/

对未必 $C^2$ 的 $f$，$f''_{xy}$ 不一定等于 $f''_{yx}$. 看如下函数：

$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{lr} \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\,,\quad(x,y)\neq(0,0)\\\\ 0\,,\quad(x,y)=(0,0) \end{array}\right.$$

验证：$f''_{xy}(0,0)\neq f''_{yx}(0,0)$.

计算：

$$f_{xy}''(0,0)=\partial_yf_x(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}{y}$$

先要计算一阶导数，得到 $f_x(0,y)=-y$，$f_x(0,0)=0$，代入得到上式为 $f''_{xy}(0,0)=-1$.

另一个方向为

$$f''_{yx}(0,0)=\partial_xf_y(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x}$$

这里，有

$$\begin{aligned} f_y(x,0)&=\lim_{y\to0}\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=\lim_{y\to0}\frac{\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}-0}{y}=x \end{aligned}$$

所以上式结果是 $f_{yx}''(0,0)=1$，两者不相等.

接下来我们逐点地叙述 Schwartz - Clairaut 定理：

/Theorem/ (Schwartz - Clairaut)

设 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 某邻域中处处有二阶偏导数 $\partial_x\partial_yf,\partial_y\partial_xf$，且两者在 $(a,b)$ 处均连续，则有 $\partial_x\partial_yf(a,b)=\partial_y\partial_xf(a,b)$.

/Proof/

/Draft/

$$\begin{aligned} &\partial_x(\partial_yf)(a,b)\\\\ &\sim\frac{f_y(a+s,b)-f_y(a,b)}{s}\\\\ &\sim\frac{\frac{f(a+s,b+t)-f(a+s,b)}{t}-\frac{f(a,b+t)-f(a,b)}{t}}{s}\\\\ &\sim\frac{f(a+s,b+t)-f(a+s,b)-f(a,b+t)+f(a,b)}{st} \end{aligned}$$

看起来是对称的.

引入“二元极限”：($s\neq0,t\neq0$)

$$\begin{aligned} F&=\lim_{(s,t)\to(0,0)}\frac{f(a+s,b+t)-f(a+s,b)-f(a,b+t)+f(a,b)}{st}\\\\ &=\lim_{(s,t)\to(0,0)}A(s,t) \end{aligned}$$

用两种方法计算 $F$. 首先写成：

$$A(s,t)=\frac{1}{st}((f(a+s,b+t)-f(a+s,b))-(f(a,b+t)-f(a,b)))$$

如果记 $h(x)=f(x,b+t)-f(x,b)$，则上式化为

$$A(s,t)=\frac{1}{st}(h(a+s)-h(a))=\frac{1}{t}\cdot h'(a+s\alpha)\,,\quad(0<\alpha<1)$$

(其中用到一元微分中值定理). 于是，

$$A(s,t)=\frac{1}{t}\cdot(f_x(a+\alpha s,b+t)-f_x(a+\alpha s,b))$$

如果记 $g(y)=f_x(a+\alpha s,y)$，则上式化为

$$A(s,t)=\frac{1}{t}\cdot(g(b+t)-g(b))=g'(b+t\beta)\,,\quad(0<\beta<1)$$

(再用了一次一元微分中值定理). 于是，上式变成了 $A(s,t)=f_{xy}(a+\alpha s,b+\beta t)$，由于 $f_{xy}$ 在 $(a,b)$ 连续，且 $0<\alpha,\beta<1$，可知当 $(s,t)\to(0,0)$ 时，$(a+\alpha s,b+\beta t)\to(a,b)$，同时 $f_{xy}(a+\alpha s,b+\beta t)\to f_{xy}(a,b)$.

即有：$F=f_{xy}(a,b)$.

---

换一种分组方式：

$$A(s,t)=\frac{1}{st}((f(a+s,b+t)-f(a,b+t))-(f(a+s,b)-f(a,b)))$$

和上面完全一致，但是计算得到 $F=f_{yx}(a,b)$，得证.

/Definition/

称 $f$ 在 $D\subseteq\R^n$ 中是 $C^k$ 光滑的，记为 $f\in C^k(D)$，如果 $f$ 在 $D$ 从 $1$ 阶到 $k$ 阶的各个高阶偏导都存在且连续(1) $\Longleftrightarrow$ $f$ 在 $D$ 上的各个 $k$ 阶偏导都存在且连续(2).

验证充分必要条件：

(1) $\Longrightarrow$ (2) 显然成立.

(2) $\Longrightarrow$ (1)：有 $\forall j$，$\partial_j(\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f)$ 连续，也就是 $\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f$ 的任意阶偏导连续. 由 $C^1$ 定义，得到 $\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f\in C^1$，于是 $\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f$ 连续.

这样可以一直往上一阶递推.

整体形式的 Schwartz - Clairaut 定理：

/Theorem/

设 $f\in C^2(D)$，则 $\forall i,j$ 有

$$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$$

/Proof/

冻结其他的所有分量，只留下 $x_i,x_j$ 分量，原来的 $f$ 就变成二元函数，和之前的证明是一致的.

更一般地，若 $f\in C^k(D)$，则 $f$ 的 $k$ 阶偏导不依赖于求导顺序：

$$\partial_{i_k}\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f=\partial_{j_k}\partial_{j_{k-1}}\cdots\partial_{j_1}f$$

只要 $\{j_1,\cdots,j_k\}$ 是 $\{i_1,\cdots,i_k\}$ 的重排. 这个证明只需要一次换位两个偏导，然后用上面的定理即可.

多元 Taylor 公式

多元 Taylor 公式本质上没有给出新的内容，就是将多元的函数限制在一个直线上，然后给出一元的 Taylor 公式：

$$g(t)=f(x_0+vt)\longleftrightarrow f$$

/Theorem/

设 $D$ 是 $\R^n$ 的开集，$\vec{x},\vec{y}\in D$，且线段 $\overline{xy}\subseteq D$，则对于 $f\in C^m(D)$ 有：

$$\begin{aligned} f(\vec{y})&=f(\vec{x})+\frac{1}{1!}\sum_{i=1}^m\partial_if(\vec{x})(y_i-x_i)+\cdots\\ &\quad+\frac{1}{(m-1)!}\sum_{i_1}\cdots\sum_{i_{m-1}}\partial_{i_{m-1}}\cdots\partial_{i_1}f(\vec{x})(y_{i_1}-x_{i_1})\cdots(y_{i_{m-1}}-x_{i_{m-1}})\\ &\quad+\frac{1}{m!}\sum_{i_1}\cdots\sum_{i_{m}}\partial_{i_{m}}\cdots\partial_{i_1}f(\vec{x}+\theta(\vec{y}-\vec{x}))(y_{i_1}-x_{i_1})\cdots(y_{i_{m}}-x_{i_{m}}) \end{aligned}$$

/Proof/

设 $g(t)=f(x+t(y-x))$，$g(0)=f(x)$，$g(1)=f(y)$.

对 $g$ 用一元 Taylor 公式，得到

$$g(1)=g(0)+\sum_{k=1}^{m-1}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}+\frac{g^{(n)}(\theta)}{(m-1)!}\,,\quad(0<\theta<1)$$

只需要计算 $g^{(k)}(0)$：用链式法则得到

$$\begin{aligned} g'(t)&=\sum_i\partial_if(x+t(y-x))(y_i-x_i)\\\\ g''(t)&=\sum_i\sum_j\partial_j\partial_if(x+t(y-x))(y_j-x_j)(y_i-x_i)\\ \cdots \end{aligned}$$

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