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Lesson 41 多元函数的可微性

约 2200 字大约 7 分钟

2025-3-26

方向导数

∂f∂v⃗(x⃗0)=ddt∣t=0f(x⃗0+v⃗t)=lim⁡t→0f(x0+vt)−f(x0)t\frac{\partial f}{\partial\vec{v}}(\vec{x}_0)=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0}f(\vec{x}_0+\vec{v}t)=\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+vt)-f(x_0)}{t}

反映了 ff 在 x0x_0 处沿 v⃗\vec{v} 方向的变化率. 上节课我们证明了，

∂f∂(λv⃗)=λ∂f∂v⃗\frac{\partial f}{\partial(\lambda\vec{v})}=\lambda\frac{\partial f}{\partial\vec{v}}

λ\lambda 出现在分母上，但是最后的效果是整体乘上一个 λ\lambda，这说明我们这种类似分数的记法并不十分贴切，在定义式中 v⃗\vec{v} 更多地出现在分子中.

偏导数：

∂f∂xk(x⃗0)=∂f∂e^k(x⃗0)\frac{\partial f}{\partial x_k}(\vec{x}_0)=\frac{\partial f}{\partial\hat{e}_k}(\vec{x}_0)

是在坐标正方向的方向导数. 事实上，我们可以将它视为“冻结” else xix_i，视 ff 为 xkx_k 的一元函数再对 xkx_k 求导. 在这种意义下，多元函数求导 ⟶\longrightarrow 一元函数的求导.

有些人乐意给偏导数一个几何意义：函数 ff 的图像在某个 xkx_k 轴对应的二维截面上的那条曲线的切线斜率，就是 ∂kf(x⃗0)\partial_kf(\vec{x}_0). 但是这样看来这种几何解释并不是十分直观，也并不好应用.

提示

我这个“释”字写对了吗？—— 艾神

上次我们有一个例子，指出即使一个函数有各方向的方向导数 (我们称这种性质为可导)，也不一定能证明其连续. (可导 ≠\neq 连续) 我们给出一种解释：

  • 可导 ⟷\longleftrightarrow x⃗\vec{x} 沿直线方式靠近 x0x_0 时 ff 有变化率；
  • ff 在 x0x_0 处连续 ⟷\longleftrightarrow x⃗\vec{x} 沿任意方式靠近 x0x_0 时都有变化率.

可以发现，高维情况下直线的趋近方式并不能刻画任意的趋近方式，但是对于一维这两种方式并无区别.

/Example/

f(x1,⋯ ,xn)=(x1⋯xn)A(x1⋮xn)=∑i∑jaijxixjf(x_1,\cdots,x_n)=\begin{pmatrix} x_1&\cdots&x_n \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}=\sum_i\sum_ja_{ij}x_ix_j

不妨假设 AA 对称.

上面的函数实际上是一个二次型，有

f(x1,⋯ ,xn)=∑i=1naiixi2+2∑i<jaijxixjf(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^na_{ii}x_i^2+2\sum_{i<j}a_{ij}x_ix_j

我们现在来计算其偏导数. 这时候我们要把它视为 xix_i 的一元函数：

f=aiixi2+2∑k<iakixkxi+2∑i<lailxixl+else⟹∂f∂xi=2∑j=1naijxj\begin{aligned} f&=a_{ii}x_i^2+2\sum_{k<i}a_{ki}x_kx_i+2\sum_{i<l}a_{il}x_ix_l+\text{else}\\ &\Longrightarrow\frac{\partial f}{\partial x_i}=2\sum_{j=1}^na_{ij}x_j \end{aligned}

以上是对上节课的复习.

可微 / 微分

在多元函数中求导并非一个好的概念，其局限性在于它并不对应连续，每次只能关注一个方向上的局部行为.

回忆一元情形，我们发现还有一个另外的概念“可微” ⟺\Longleftrightarrow 可导 ⟹\Longrightarrow 连续，对于多元函数，可微是更加基本的概念.

回忆一元函数中可微的定义：

/Definition/

对于一元函数 ff，ff 在 x0x_0 处可微 ⟺\Longleftrightarrow ∃\exist 线性映射 L:R→RL:\R\to\R，满足 f(x0+h)=f(x0)+L(h)+α(h)f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+\alpha(h)，∀h∈Br(0)\forall h\in B_r(0) (∃r∈R+\exist r\in\R_+)，且 lim⁡h→0α(h)h=0\underset{h\to0}{\lim}\frac{\alpha(h)}{h}=0.

对于多元函数，几乎完全一致：

/Definition/

对于多元函数 ff，ff 在 x0x_0 处可微 ⟺\Longleftrightarrow ∃\exist 线性映射 L:Rn→RL:\R^n\to\R，满足 f(x0+h)=f(x0)+L(h)+α(h)f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+\alpha(h)，∀h∈Br(0)\forall h\in B_r(0) (∃r∈R+\exist r\in\R_+)，且 lim⁡h→0α(h)∣h∣=0\underset{h\to0}{\lim}\frac{\alpha(h)}{|h|}=0.

并称满足上述条件的唯一的线性映射 LL 为 ff 在 x0x_0 处的微分，记为 dfx0:Rn→R\text{d}f_{x_0}:\R^n\to\R (现在西方国家的一些教材里面更多地写作 Df:Rn→R\text{D}f:\R^n\to\R).

/Lemma/

满足条件的线性映射 LL 是唯一的.

/Proof/

若有两个线性映射 L1L_1 和 L2L_2 均满足条件，则 L1(h)+α1(h)=L2(h)+α2(h)L_1(h)+\alpha_1(h)=L_2(h)+\alpha_2(h)，于是

lim⁡h→0L1(h)−L2(h)∣h∣=lim⁡h→0α2(h)−α1(h)∣h∣=0\lim_{h\to0}\frac{L_1(h)-L_2(h)}{|h|}=\lim_{h\to0}\frac{\alpha_2(h)-\alpha_1(h)}{|h|}=0

设 L1(h)−L2(h)=∑ni=1aihiL_1(h)-L_2(h)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}a_ih_i，则取一个探测方向 e^k\hat{e}_k，路径为 p(t)=e^ktp(t)=\hat{e}_kt，这时候映射是复合映射：

R∣{0}⟶pRn∣{0}⟶q(h)=∑iaihi∣h∣R\R|\{0\}\overset{p}{\longrightarrow}\R^n|\{0\}\overset{q(h)=\frac{\sum_ia_ih_i}{|h|}}{\longrightarrow}\R

由 lim⁡h→0q(h)=0\underset{h\to0}{\lim}q(h)=0，lim⁡t→0p(t)=0\underset{t\to0}{\lim}p(t)=0，满足复合极限定理的修正 I\text{I}，因此每一个 aka_k 都是零，两个线性映射是同一个映射.

微分是 ff 在 x0x_0 附近的线性近似.

/Example/

线性映射的微分是自身.

设 f:Rn→Rf:\R^n\to\R 为线性映射 f(x)=∑ni=1cixif(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}c_ix_i，保加法和数乘. 从而 f(x0+h)=f(x0)+f(h)+0f(x_0+h)=f(x_0)+f(h)+0，就是自身.

1940 年代才开始使用映射的语言来描述微分，更早以前的表述是“函数”，如果混用这两种语言，我们在某方向的微分为 dXi(h⃗)=hi\text{d}X_i(\vec{h})=h_i，∀h⃗∈Rn\forall\vec{h}\in\R^n.

我们一开始引入可微的概念是为了连续性，现在我们来看微分的一些效果：

/Theorem/

设 ff 在 x0x_0 处可微，则有：

  • ff 在 x0x_0 处连续；
  • ff 在 x0x_0 处有各个方向导数；
  • ∇v⃗f(x0)=∑nn=1∂f∂xi(x⃗0)vi\nabla_{\vec{v}}f(x_0)=\underset{n=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}_0)v_i.

/Proof/

由可微的定义知，f(x0+h)=f(x0)+L(h)+α(h)f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+\alpha(h)，lim⁡h→0α(h)∣h∣=0\underset{h\to0}{\lim}\frac{\alpha(h)}{|h|}=0.

  • 验证 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x)=f(x_0) ⟺\Longleftrightarrow 换元 h=x−x0h=x-x_0 之后有 lim⁡x→x0f(x0+h)=f(x0)\underset{x\to x_0}{\lim}f(x_0+h)=f(x_0).

    后者成立的理由：

    lim⁡h→0f(x0+h)=lim⁡h→0(f(x0)+L(h)+α(h))=f(x0)+lim⁡h→0∑aihi+lim⁡h→0α(h)∣h∣⋅∣h∣=f(x0)+0+0⋅0=f(x0)\begin{aligned} \lim_{h\to0}f(x_0+h)&=\lim_{h\to0}(f(x_0)+L(h)+\alpha(h))\\ &=f(x_0)+\lim_{h\to0}\sum a_ih_i+\lim_{h\to0}\frac{\alpha(h)}{|h|}\cdot|h|\\ &=f(x_0)+0+0\cdot0\\\\ &=f(x_0) \end{aligned}

  • 算方向导数：

    ∇v⃗f(x0)=lim⁡t→0f(x⃗0+v⃗t)−f(x⃗0)t=lim⁡t→0L(v⃗t)+α(v⃗t)t=L(v⃗)+lim⁡t→0α(v⃗t)∣v⃗t∣⋅∣v⃗t∣t\begin{aligned} \nabla_{\vec{v}}f(x_0)&=\lim_{t\to0}\frac{f(\vec{x}_0+\vec{v}t)-f(\vec{x}_0)}{t}\\ &=\lim_{t\to0}\frac{L(\vec{v}t)+\alpha(\vec{v}t)}{t}\\ &=L(\vec{v})+\lim_{t\to0}\frac{\alpha(\vec{v}t)}{|\vec{v}t|}\cdot\frac{|\vec{v}t|}{t} \end{aligned}

    为计算第二项，考虑复合极限：

    R∣{0}⟶pRn∣{0}⟶q(h)=α(h)∣h∣R\R|\{0\}\overset{p}{\longrightarrow}\R^n|\{0\}\overset{q(h)=\frac{\alpha(h)}{|h|}}{\longrightarrow}\R

    满足修正 I\text{I}，所以上面的第二项是一个为零的极限乘以一个有界的量，得到最终极限值为零. 因此方向导数是：

    ∇v⃗f(x0)=L(v⃗)=dfx0(h⃗)\nabla_{\vec{v}}f(x_0)=L(\vec{v})=\text{d}f_{x_0}(\vec{h})

    取 v⃗=e^k\vec{v}=\hat{e}_k，得到偏导数：

    ∇e^kf(x0)=dfx0(e^k)\nabla_{\hat{e}_k}f(x_0)=\text{d}f_{x_0}(\hat{e}_k)

    任意方向上的方向导数是

    ∇v⃗f(x0)=dfx0(∑ivie^i)=∑ividfx0(e^i)\nabla_{\vec{v}}f(x_0)=\text{d}f_{x_0}(\sum_iv_i\hat{e}_i)=\sum_{i}v_i\text{d}f_{x_0}(\hat{e}_i)

最后的一个式子利用了微分的线性性，这个式子的形式类似于一个内积，所以我们引入 gradient：

/Definition/ (gradient)

ff 在 x⃗0\vec{x}_0 处的梯度向量定义为

gradf=(∂f∂x1(x⃗0),⋯ ,∂f∂xn(x⃗0))\text{grad}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x}_0),\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec{x}_0)\right)

也记为 ∇f(x0)\nabla f(x_0).

定义 gradient 之后，若 ff 在 x0x_0 处可微，则其方向导数为

∇v⃗f(x0)=⟨gradf,v⃗⟩=⟨∇f,v⃗⟩\nabla_{\vec{v}}f(x_0)=\braket{\text{grad}f,\vec{v}}=\braket{\nabla f,\vec{v}}

也就是说，方向导数是梯度与方向的内积.

有人误以为上面的式子永远成立，但是实际上有成立条件：

/Example/

f(x,y)={∣y∣x2+y2x ,x≠00 ,x=0f(x,y)=\left\{\begin{array}{lr} \frac{|y|\sqrt{x^2+y^2}}{x}\,,\quad x\neq0\\\\ 0\,,\quad x=0 \end{array}\right.

之前计算过方向导数：

∇(cos⁡θ,sin⁡θ)f(x,y)={0 ,cos⁡θ=0∣sin⁡θ∣cos⁡θ ,cos⁡θ≠0\nabla_{(\cos\theta,\sin\theta)}f(x,y)=\left\{\begin{array}{lr} 0\,,\quad\cos\theta=0\\\\ \frac{|\sin\theta|}{\cos\theta}\,,\quad\cos\theta\neq0 \end{array}\right.

这里的梯度和方向内积不能计算出方向导数.

上面式子的成立条件是可微.

由以上的定理，我们可以表述微分：

dfx0(h⃗)=∇h⃗f(x⃗0)=∑i=1n∂f∂xi(xi)hi=(∂f∂x1(x0)⋯∂f∂xn(x0))(h1⋮hn)\begin{aligned} \text{d}f_{x_0}(\vec{h})&=\nabla_{\vec{h}}f(\vec{x}_0)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_i)h_i=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0)&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1\\\vdots\\h_n \end{pmatrix} \end{aligned}

其中的那个行向量是 dfx0:Rn→R\text{d}f_{x_0}:\R^n\to\R 的表示矩阵.

/Remark/

有人可能会有疑问：表示矩阵不是就是梯度吗？

事实上这是因为我们不太要求严谨性，如果我们坚持所有的向量都是列向量，那么原来的梯度应该写成列向量. 但是在微积分里面我们不至于分不清我们说的是什么，没必要这样强调.

作为线性映射的等式，我们可以写成

dfx0=∑∂f∂xi(x⃗0)dxi\text{d}f_{x_0}=\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{x}_0)\text{d}x_i

在 ff 的可微点皆成立.

省略 x0x_0，有更抽象的写法：

df=∑i=1n∂f∂xidxi=∑i=1n∂f∂xidpi\text{d}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\text{d}x_i=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\text{d}p_i

后一个式子是将微分全部用映射语言写出.

由定理，我们知道表示矩阵至多有一种. 为判断是否可微，充要条件是：

lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)−∑ni=1∂f∂xi(x0)hi∣h∣=0\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)h_i}{|h|}=0

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