Lesson 23 狭义相对论

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2025-12-04

警告

上节课的前一天晚上北京有一颗火流星坠落，晚上查各种数据导致睡得很晚然后翘课了 qwq.

我们上节课说到，Maxwell 方程组给出了电磁波的速度，但是这意味着宇宙中存在一个绝对参考系，仅仅在这个参考系中光速是光速，其他参考系的光速是相对这个参考系的速度.

Michaelson 实验表明，如果 Galileo 变换成立，那么地球参考系就是那个特殊的参考系 —— 这是地心说的残余. 所以我们要抛弃的必须是 Galileo 变换，这就是狭义相对论的产生背景.

我们认为新的变换应该是线性的：

\begin{aligned} t'&=\alpha t+\beta x\\\\ x'&=\gamma x+\delta t \end{aligned}

(因为两个参考系的 $x$ 轴重合，并沿着 $x$ 方向运动，所以只有 $x$ 和 $t$ 存在变换关系，这来源于时空的均匀性.) 接下来利用相对速度 $v$ 实现简化，对于 $S'$ 系中的一个静止点，在 $S$ 系中我们看到它沿着 $x$ 轴以 $v$ 运动，得到

\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=v,\quad \frac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=-v

上述变换化简为

t'=\gamma(t-\eta x),\quad x'=\gamma(x-vt)

如果在这时认为时间和空间无关，那么就立即得到 Galileo 变换 —— 这在 Galileo 之后的几百年内一直被视为常识，但是现在我们需要抛弃这个前提，换成「光速不变原理」. 对于一个闪光，在 $S$ 系中我们看到的是

x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0

$S'$ 系中光速不变，也是 $x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=0$ . 考虑在 $x'$ 轴上发生的那一个事件，得到

t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\quad x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

正是 Lorentz 变换.

同时的相对性：在某个参考系中异地同时发生的事件，在另一个参考系中不一定同时，比如经典的火车中间发出一道闪光，在火车系中光同时到达车头和车尾，但是地面系认为光先到达车尾，再到达车头.

因为同时的相对性，产生了动尺缩短和动钟变慢的效应.

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2025/12/4 07:12

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