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Lesson 15 电磁波

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约 425 字大约 1 分钟

2025-11-06

电磁波的方程可以由 Maxwell 方程得到.

但是实际上不同的波长会造成不同的 ε\varepsilon，存在色散关系 ε(ω)\varepsilon(\omega). 因此先来看没有色散关系的真空：

μ0ε0∂2E⃗∂t2=∇×∂B⃗∂t=−∇×(∇×E⃗)=−∇(∇⋅E⃗)+∇2E⃗=∇2E⃗\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=\nabla\times\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\nabla(\nabla\cdot\vec{E})+\nabla^2\vec{E}=\nabla^2\vec{E}

当在介质中时，

D⃗=D⃗(ω)=ε(ω)E⃗(ω) ,B⃗=B⃗(ω)=μ(ω)H⃗(ω)\vec{D}=\vec{D}(\omega)=\varepsilon(\omega)\vec{E}(\omega)\,,\quad\vec{B}=\vec{B}(\omega)=\mu(\omega)\vec{H}(\omega)

真空中的平面波解为

E⃗=E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)\vec{E}=\vec{E}_0e^{\text{i}(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}

其中 k⃗\vec{k} 是波矢，表达了波传播的方向；k⃗⋅x⃗=const.\vec{k}\cdot\vec{x}=\text{const.} 表征了一个平面，这个平面就是所谓平面波的等相面. 同时为了满足条件 ∇⋅E⃗=0\nabla\cdot\vec{E}=0，得到

k⃗⋅E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)=0\vec{k}\cdot\vec{E}_0e^{\text{i}(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}=0

也就是 E⃗0\vec{E}_0 只能在垂直 k⃗\vec{k} (也就是波传播方向)，是为横波. 磁场的波动和电场的波动是相关的，可以得到

∂B⃗∂t=−∇×E⃗=−ik⃗×E⃗⟹B⃗=−ik⃗−iω×E⃗+B⃗1(x,y,z)\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\nabla\times\vec{E}=-\text{i}\vec{k}\times\vec{E}\Longrightarrow\vec{B}=\frac{-\text{i}\vec{k}}{-\text{i}\omega}\times\vec{E}+\vec{B}_1(x,y,z)

其中常数项是某一个全空间存在的静磁场，和电磁波并无关系，所以磁场的波动也能够写成

B⃗=B⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)\vec{B}=\vec{B}_0e^{\text{i}(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}

我们无法测量光的相位，只能测量光强，得到能流密度和能量密度为

⟨w⟩=ε2E⃗0⋅E⃗0∗ ,⟨S⃗⟩=εv2(E⃗0⋅E⃗0∗)n^\braket{w}=\frac{\varepsilon}{2}\vec{E}_0\cdot\vec{E}_0^*\,,\quad \braket{\vec{S}}=\frac{\varepsilon v}{2}(\vec{E}_0\cdot\vec{E}_0^*)\hat{n}

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2025/11/6 16:14
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