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Lesson 19 辐射 (二)

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约 574 字大约 2 分钟

2025-11-20

球面波方程

1r2∂∂r(r2∂φ∂r)−1c2∂2φ∂t2=0\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=0

它的通解为

φ(r,t)=1r[f(t−rc)+g(t+rc)]\varphi(r,t)=\frac{1}{r}\left[f\left(t-\frac{r}{c}\right)+g\left(t+\frac{r}{c}\right)\right]

这里的 gg 表现为汇聚的波形，不符合物理实际，我们只考虑 ff 的部分. 对于场源 Q(t−r/c)Q(t-r/c) 来说，我们猜测

φ(r,t)=14πε0rQ(t−rc)\varphi(r,t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r}Q\left(t-\frac{r}{c}\right)

因为现在没有唯一性定理了 (电磁场是动态的)，所以要来验证这个解确实是 d'Alembert 方程的特解：

∇2φ=f∇21r+2∇1r⋅∇f+1r∇2f1c2∂2φ∂t2=1c21r∂2f∂t2\begin{aligned} \nabla^2\varphi&=f\nabla^2\frac{1}{r}+2\nabla\frac{1}{r}\cdot\nabla f+\frac{1}{r}\nabla^2f\\\\ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}&=\frac{1}{c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial^2f}{\partial t^2} \end{aligned}

在 x⃗′\vec{x}' 处的电荷在场点 x⃗\vec{x} 的势是

φ(x⃗,t)=Q(x⃗′,t−rc)4πε0r\varphi(\vec{x},t)=\frac{\displaystyle{Q\left(\vec{x}',t-\frac{r}{c}\right)}}{4\pi\varepsilon_0r}

这就是所谓推迟势. 利用叠加原理推广，

φ(x⃗,t)=14πε0∫V′ρ(x⃗′,t−rc)rdτ′\varphi(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{V'}\frac{\displaystyle{\rho\left(\vec{x}',t-\frac{r}{c}\right)}}{r}\text{d}\tau'

同理，磁矢势

A⃗(x⃗,t)=μ04π∫V′j⃗(x⃗′,t−rc)rdτ′\vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V'}\frac{\displaystyle{\vec{j}\left(\vec{x}',t-\frac{r}{c}\right)}}{r}\text{d}\tau'

这两者恰好是符合 Lorentz 规范条件.

下面考虑简谐的电流变化，取 j⃗(x⃗′,t′)=j⃗(x⃗′)e−iωt′\vec{j}(\vec{x}',t')=\vec{j}(\vec{x}')e^{-\text{i}\omega t'}，ρ(x⃗′,t′)=ρ(x⃗′)e−iωt′\rho(\vec{x}',t')=\rho(\vec{x}')e^{-\text{i}\omega t'}，其中 t′=t−r/ct'=t-r/c. 有：

A⃗=μ04π∫V′j⃗(x⃗′)e−i(kr−ωt)rdτ′\vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V'}\frac{\vec{j}(\vec{x}')e^{-\text{i}(kr-\omega t)}}{r}\text{d}\tau'

之后我们开始近似：有三个区域，

  • 近区 (似稳区)：r≪λr\ll\lambda，但是满足 r≫lr\gg l (线度)，有 kr≪1kr\ll1，推迟因子 ≪1\ll1，几乎是即时响应.
  • 过渡区：r≫λr\gg\lambda，这里没办法具体做近似.
  • 远区 (辐射区)：r≫l2/λr\gg l^2/\lambda，有显著的推迟效应.

远区可以展开整个推迟势，

A⃗(x⃗)=μ0eikR4πR∫V′j⃗(x⃗′)[1−ikn^⋅x⃗′+12(ikn^⋅x⃗′)2+⋯ ]dτ′\vec{A}(\vec{x}) = \frac{\mu_0e^{\text{i}kR}}{4\pi R}\int_{V'}\vec{j}(\vec{x}')\left[1-\text{i}k\hat{n}\cdot\vec{x}'+\frac{1}{2}(\text{i}k\hat{n}\cdot\vec{x}')^2+\cdots\right]\text{d}\tau'

远场下，也存在关系 ∇→ik⃗\nabla\to\text{i}\vec{k}，和平面波的情况类似.

更新日志

2025/11/20 07:14
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