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Lesson 6 介质中的 Maxwell 方程组

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约 745 字大约 2 分钟

2025-09-30

接着上节课来说，磁介质中有

∇×M⃗=j⃗m\nabla\times\vec{M}=\vec{j}_m

j⃗m\vec{j}_m 是磁化电流. 上面是微分形式，对于介质不连续的位置，还是要用积分形式，得到界面处的磁化面电流为

α⃗m=n^12×(M⃗2−M⃗1)\vec{\alpha}_m=\hat{n}_{12}\times(\vec{M}_2-\vec{M}_1)

结合之前的极化电流，Maxwell 方程组中的电流项修改为

j⃗=j⃗f+j⃗P+j⃗m=j⃗f+∂P⃗∂t+∇×M⃗\vec{j}=\vec{j}_f+\vec{j}_P+\vec{j}_m=\vec{j}_f+\frac{\partial \vec{P}}{\partial t}+\nabla\times\vec{M}

于是真空中的 Maxwell 方程组变为

{∇⋅E⃗=1ε0(ρf−∇⋅P⃗)∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×B⃗=μ0(j⃗f+∂P⃗∂t+∇×M⃗)+μ0ε0∂E⃗∂t\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot\vec{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho_f-\nabla\cdot\vec{P})\\\\ &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0\\\\ &\nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\vec{j}_f+\frac{\partial \vec{P}}{\partial t}+\nabla\times\vec{M}\right)+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{aligned}\right.

这个方程并不完备，因为要求的场量不止 E⃗\vec{E} 和 B⃗\vec{B}，还有 P⃗\vec{P} 和 M⃗\vec{M}. 因此还要把介质的性质算进方程，得到完备的方程组.

我们发现，对于 E⃗\vec{E} 和 P⃗\vec{P} 的数学操作是一样的，同样，对于 B⃗\vec{B} 和 M⃗\vec{M} 的数学操作也是一样，因此引入数学上的辅助量：

D⃗=ε0E⃗+P⃗ ,H⃗=B⃗μ0−M⃗\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}\,,\quad\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}

得到仅仅含有自由电荷分布、自由电流的 Maxwell 方程：

{∇⋅D⃗=ρf∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×H⃗=j⃗f+∂D⃗∂t\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f\\\\ &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\vec{j}_f+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \end{aligned}\right.

可以发现位移电流项变为 D⃗\vec{D} 的时间导数，这也是「电位移矢量」得名的原因. 这个方程仍然不完备，只是形式变得对称. 对于线性介质，可以要求：

P⃗=χeε0E⃗⟹D⃗=ε0E⃗+P⃗=(1+χe)ε0E⃗\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E}\Longrightarrow\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=(1+\chi_e)\varepsilon_0\vec{E}

把 1+χe1+\chi_e 定义为相对介电常数 εr\varepsilon_r，则 D⃗=εrε0E⃗=εE⃗\vec{D}=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E}=\varepsilon \vec{E}，这里我们能看出相对介电常数一般大于 11，也就是在同样的自由电荷分布下，介质中的电场会更小. 同理，

M⃗=λmμ0B⃗⟹H⃗=B⃗μ0−M⃗=1−λmμ0B⃗\vec{M}=\frac{\lambda_m}{\mu_0}\vec{B}\Longrightarrow\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}=\frac{1-\lambda_m}{\mu_0}\vec{B}

定义 1/(1−λm)1/(1-\lambda_m) 为相对磁导率 μr\mu_r，和电场的情况类似.

λm\lambda_m 没有名字，因为历史上把 M⃗\vec{M} 和 H⃗\vec{H} 的正比关系的系数称为磁化率.

仅和自由电荷有关的 Maxwell 方程不意味着电场和磁场仅仅由自由电荷决定，而是在线性介质中，自由电荷和总电荷成比例.

利用 D⃗\vec{D} 和 H⃗\vec{H} 可以重新写界面上的电荷和电流分布，

σf=n^12⋅(D⃗2−D⃗1) ,α⃗f=n^12×(H⃗2−H⃗1)\sigma_f=\hat{n}_{12}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)\,,\quad\vec{\alpha}_f=\hat{n}_{12}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)

另外还有边值关系：

n^12×(E⃗2−E⃗1)=0 ,n^12⋅(B⃗2−B⃗1)=0\hat{n}_{12}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=0\,,\quad\hat{n}_{12}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0

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