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Lesson 4 Maxwell 方程组

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约 1517 字大约 5 分钟

2025-09-25

我们到目前为止已经得到了静电场和静磁场的基本方程. 但是这两组方程都是特殊的，前者只在电荷分布守恒的情况下成立，后者要求电流分布稳恒.

而电磁感应中产生的电场不是由电荷产生的，所以这被称为感生电场.

感生电场方向的判定：感生电动势产生的电流产生的磁场，应该抵抗磁通量的变化.

∮E⃗⋅dl⃗=−∬∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}=-\iint\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\text{d}\vec{S}

利用 Stokes 定理，得到

∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

这个方程和之前的散度方程能够联立吗？

这两者恰好是电场的纵场部分和横场部分，而且我们没有电场的其他来源了，所以这两者可以作为电场的普遍规律而存在.

现在从实验规律能够写出的方程有：

∇⋅E⃗=ρε0 ,∇×E⃗=−∂B⃗∂t ,∇⋅B⃗=0 ,∇×B⃗=μ0j⃗\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\,,\quad\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\,,\quad\nabla\cdot\vec{B}=0\,,\quad\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{j}

但是，若对 ④ 式求散度，会得到

∇⋅(∇×B⃗)=μ0∇⋅j⃗=−μ0∂ρ∂t=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec{B})=\mu_0\nabla\cdot\vec{j}=-\mu_0\frac{\partial\rho}{\partial t}=0

这意味着电荷分布不变，也就是稳恒电流情况，这个方程无法适配电流不稳恒的情况. 所以我们需要加一项来适配电流分布变化的情况，有

∇×B⃗=μ0(j⃗+j⃗d) ,∇⋅j⃗d=−∇⋅j⃗=∂ρ∂t=ε0∇⋅(∂E⃗∂t)\nabla\times\vec{B}=\mu_0(\vec{j}+\vec{j}_{\text{d}})\,,\quad\nabla\cdot\vec{j}_{\text{d}}=-\nabla\cdot\vec{j}=\frac{\partial\rho}{\partial t}=\varepsilon_0\nabla\cdot\left(\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)

可以合理猜测位移电流 j⃗d\vec{j}_{\text{d}} 就等于 ε0\varepsilon_0 倍电场对时间的偏导. 我们直接把位移电流定义为这个量，后来在实验中这个方程的正确性被验证了.

Maxwell Equation{∇⋅E⃗=ρε0∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\text{Maxwell Equation}\left\{\begin{aligned} &\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\\\ &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0\\\\ &\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{aligned}\right.

波动方程导出 (真空中)：

∇×(∇×E⃗)=−∂∂t(∇×B⃗)=−μ0ε0∂2E⃗∂t2⟹∂2E⃗∂t2+1μ0ε0∇2E⃗=0\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\Longrightarrow\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}+\frac{1}{\mu_0\varepsilon_0}\nabla^2\vec{E}=0

磁场也是对称的.

另外还有 Lorentz 力公式 f⃗=ρE⃗+j⃗×B⃗\vec{f}=\rho\vec{E}+\vec{j}\times\vec{B} (力密度) 和电荷守恒方程.

能量守恒定律：要在数学上找出一个能量，能用 E⃗\vec{E} 和 B⃗\vec{B} 来描述.

取一个体积元，电磁场的功率密度积分应该是

∭VWdτ=−ddt∭Vwdτ−∬S⃗⋅dσ⃗\iiint_V W\text{d}\tau=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint_V w\text{d}\tau-\iint\vec{S}\cdot\text{d}\vec{\sigma}

这里 ww 是电磁场的能量密度、S⃗\vec{S} 是来自于电磁场的流动性，描述单位时间流入的能量 (能流密度). 上式可以写出微分形式

W=−∂w∂t−∇⋅S⃗W=-\frac{\partial w}{\partial t}-\nabla\cdot\vec{S}

下面导出这两个能量有关的量与 E⃗\vec{E} 和 B⃗\vec{B} 的关系，由 Lorentz 力公式知道磁场不作功，应该有

W=E⃗⋅j⃗=E⃗⋅(1μ0∇×B⃗−ε0∂E⃗∂t)=1μ0E⃗⋅∇×B⃗−∂∂t(12ε0∣E⃗∣2)W=\vec{E}\cdot\vec{j}=\vec{E}\cdot\left(\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec{B}-\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\cdot\nabla\times\vec{B}-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0|\vec{E}|^2\right)

而有矢量分析公式：

∇⋅(A⃗×B⃗)=B⃗⋅∇×A⃗−A⃗⋅∇×B⃗\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot\nabla\times\vec{A}-\vec{A}\cdot\nabla\times\vec{B}

代入，得到

W=−1μ0∇⋅(E⃗×B⃗)+1μ0B⃗⋅∇×E⃗−∂∂t(12ε0∣E⃗∣2)=−1μ0∇⋅(E⃗×B⃗)−1μ0B⃗⋅∂B⃗∂t−∂∂t(12ε0∣E⃗∣2)=−∇⋅(1μ0E⃗×B⃗)−∂∂t(12μ0∣B⃗∣2+12ε0∣E⃗∣2)\begin{aligned} W&=-\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})+\frac{1}{\mu_0}\vec{B}\cdot\nabla\times\vec{E}-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0|\vec{E}|^2\right)\\\\ &=-\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})-\frac{1}{\mu_0}\vec{B}\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\varepsilon_0|\vec{E}|^2\right)\\\\ &=-\nabla\cdot\left(\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}\right)-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2\mu_0}|\vec{B}|^2+\frac{1}{2}\varepsilon_0|\vec{E}|^2\right) \end{aligned}

所以能量密度和能流密度分别是

w=12μ0∣B⃗∣2+12ε0∣E⃗∣2 ,S⃗=1μ0E⃗×B⃗w=\frac{1}{2\mu_0}|\vec{B}|^2+\frac{1}{2}\varepsilon_0|\vec{E}|^2\,,\quad\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}

这里也可以看出电磁波的传播方向，也就是 Poynting 矢量 (能流密度) 的方向. 另外，电磁波的能量方程也就只和动量方程差一个系数，简单理解就是相对论中无质量的粒子的能量 E=pcE=pc. 电磁作用下的动量守恒是

∭Vf⃗⋅dτ=−ddt∭g⃗⋅dτ−∬T⋅dS⃗\begin{aligned} \iiint_V\vec{f}\cdot\text{d}\tau=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iiint\vec{g}\cdot\text{d}\tau-\iint\boldsymbol{T}\cdot\text{d}\vec{S} \end{aligned}

(其中 f⃗\vec{f} 为力密度，g⃗\vec{g} 为电磁场动量密度，T\boldsymbol{T} 为电磁场动量流密度，是一个张量) 微分式：

f⃗=−∂g⃗∂t−∇⋅T\vec{f}=-\frac{\partial\vec{g}}{\partial t}-\nabla\cdot\boldsymbol{T}

利用 Lorentz 力公式和 Maxwell 方程，

f⃗=ρE⃗+j⃗×B⃗=ρ(ε0∇⋅E⃗)E⃗+1μ0(∇×B⃗)×B⃗−ε0∂E⃗∂t×B⃗\begin{aligned} \vec{f}&=\rho\vec{E}+\vec{j}\times\vec{B}\\\\ &=\rho(\varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E})\vec{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\vec{B})\times\vec{B}-\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\times\vec{B} \end{aligned}

为了对称，加上三项 (这三项加起来是零，不影响等式)：

f⃗=ρ(ε0∇⋅E⃗)E⃗+1μ0(∇×B⃗)×B⃗−ε0∂E⃗∂t×B⃗+1μ0ρ(∇⋅B⃗)B⃗+ε0(∇×E⃗)×E⃗+ε0∂B⃗∂t×E⃗=−∂∂t(ε0E⃗×B⃗)−∇⋅(12(ε0∣E⃗∣2+12μ0∣B⃗∣2)I−ε0E⃗E⃗−1μ0B⃗B⃗)\begin{aligned} \vec{f}&=\rho(\varepsilon_0\nabla\cdot\vec{E})\vec{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\vec{B})\times\vec{B}-\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\times\vec{B}\\ &\quad+\frac{1}{\mu_0}\rho(\nabla\cdot\vec{B})\vec{B}+\varepsilon_0(\nabla\times\vec{E})\times\vec{E}+\varepsilon_0\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\times\vec{E}\\\\ &=-\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_0\vec{E}\times\vec{B})-\nabla\cdot\left(\frac{1}{2}\left(\varepsilon_0|\vec{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0|\vec{B}|^2\right)\boldsymbol{I}-\varepsilon_0\vec{E}\vec{E}-\frac{1}{\mu_0}\vec{B}\vec{B}\right) \end{aligned}

于是分别有

g⃗=ε0E⃗×B⃗ ,T=12(ε0∣E⃗∣2+12μ0∣B⃗∣2)I−ε0E⃗E⃗−1μ0B⃗B⃗\vec{g}=\varepsilon_0\vec{E}\times\vec{B}\,,\quad\boldsymbol{T}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_0|\vec{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0|\vec{B}|^2\right)\boldsymbol{I}-\varepsilon_0\vec{E}\vec{E}-\frac{1}{\mu_0}\vec{B}\vec{B}

/Example/

一个简单的例子是无限大带电平板，电荷密度 σ\sigma，向右移动.

可以算出空间中存在电场和磁场，也有能流密度和动量密度. 这里的电磁场是跟着带电体做匀速运动的.

但是在相对带电体静止的参考系，就没有磁场，也不存在电磁场的能流密度和动量密度.

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2025/10/9 02:50
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