Lesson 10 多极展开

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2025-10-21

对于 Coulomb 特解做展开：

\varphi(x)=\int_C\frac{\rho(x')}{4\pi\varepsilon|x'-x|}\text{d}^3x'

展开考虑的是 $|x'|/|x|$ 为小量. 令 $r'=|\vec{x}-\vec{x}'|$ ，固定 $x$ (场点) 不变，把 $x'$ 在原点附近展开，则

\begin{aligned} \frac{1}{r}&=\left.\frac{1}{r}\right|_{\vec{x}'=0}+\left[x'\left.\frac{\partial}{\partial x'}\left(\frac{1}{r}\right)\right|_{\vec{x}'=0}+y'\left.\frac{\partial}{\partial y'}\left(\frac{1}{r}\right)\right|_{\vec{x}'=0}+z'\left.\frac{\partial}{\partial z'}\left(\frac{1}{r}\right)\right|_{\vec{z}'=0}\right]+\cdots\\\\ &\overset{r_{\vec{x}'=0}=R}{=}\frac{1}{R}+(\vec{x}'\cdot\nabla)\frac{1}{R}+\frac{1}{2}\vec{x}'\vec{x}':\nabla\nabla\frac{1}{R}+\cdots \end{aligned}

偶极项：

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{\vec{p}\cdot\vec{x}}{R^3}

四极项：

\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{(\vec{x}_0'\vec{x}_1'+\vec{x}_1'\vec{x}_0')(3\vec{x}\vec{x}-R^2\bold{I})}{2R^5}

这是双偶极子共线对顶的这种情况的领头阶，实际上也可以用四电荷方框的电荷分布来计算领头阶.

如果定义四极矩 $D = \sum_{m,n}q_{n}\vec{x}_n\vec{x}_m$ ，可以改写四极项.

对于连续电荷分布，有

\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{V'}\rho(\vec{x}')\left[\frac{1}{R}-\vec{x}'\cdot\nabla\frac{1}{R}+\frac{1}{2!}\vec{x}\vec{x}:\nabla\nabla\frac{1}{R}+\cdots\right]\text{d}\tau'

令：

Q=\int_{V'}\rho(\vec{x}')\text{d}\tau'\,,\quad\vec{p}=\int_{V'}\rho(\vec{x}')\vec{x}'\text{d}\tau'\,,\quad\bold{D}=\int_{V'}3\vec{x}'\vec{x}'\rho(\vec{x}')\text{d}\tau'

上式改写为

\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\left[\frac{Q}{R}-\vec{p}\cdot\nabla\frac{1}{R}+\frac{1}{6}\bold{D}:\nabla\nabla\frac{1}{R}+\cdots\right]\text{d}\tau'

一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的电场等于一系列多极子在远处激发的场的叠加.

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2025/10/21 08:10

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