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Lesson 5 介质中的电磁场

约 1173 字大约 4 分钟

2025-09-28

从本质上来说介质也是带电粒子的集合体，微观而言和真空中的电磁场没有区别. 但是电磁理论研究的是宏观的电磁场，因此对于介质有特别的理论来描述.

极化：

  • 位移极化：无极性的分子在电场作用下正负电荷中心分离，产生宏观的偶极矩；

  • 取向极化：有极性的分子在电场作用下偶极矩有序排列，产生宏观的偶极矩.

    (当然并不会所有的分子都取向相同，因为存在热运动)

取向极化比位移极化的效应更强一些.

引进极化强度：

P⃗=∑ip⃗iΔτ\vec{P}=\frac{\sum_i\vec{p}_i}{\Delta\tau}

经验公式可以描述弱场近似下的一般介质中，极化强度随电场的变化：

P⃗=χeε0E⃗\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E}

这里的电场是 已经计算了极化影响之后 的电场. 当然如果是非线性的介质，就应该有张量形式的 χe\chi_e.

同理可以引入介质的磁化现象，磁化强度

M⃗=∑im⃗iΔτ ,M⃗=λHμ0B⃗\vec{M}=\frac{\sum_i\vec{m}_i}{\Delta\tau}\,,\quad\vec{M}=\frac{\lambda_H}{\mu_0}\vec{B}

(后一个经验公式也仅仅适用于一般介质)

关于磁场和磁矩的储能，只考虑磁场能量时，U=m⃗⋅B⃗U=\vec{m}\cdot\vec{B}；但是我们要考虑「维持这个磁矩所需要的能量」，在考虑到这些能量之后，变成 U=−m⃗⋅B⃗U=-\vec{m}\cdot\vec{B}.

提示

电子具有轨道角动量 J⃗\vec{J}，那么轨道磁矩是 m⃗\vec{m} (沿着 −J⃗-\vec{J} 方向)，若在空间中存在一个磁场 B⃗\vec{B}，则这个轨道磁矩受到一个力矩

M⃗=m⃗×B⃗=dJ⃗dt\vec{M}=\vec{m}\times\vec{B}=\frac{\text{d}\vec{J}}{\text{d}t}

这就是电子轨道角动量的进动，轨道角动量绕着磁场旋转，被称为 Lamor 进动. 进动角动量沿着磁场 B⃗\vec{B} 的方向，所以进动磁矩是沿着 B⃗\vec{B} 的反方向，这意味着这种物质呈现出反磁性，即沿着磁场的反方向磁化.

如果这种物质一开始是无磁性的，分子中还有另一个电子沿着反方向旋转，计算还是会得到沿着 B⃗\vec{B} 反方向的进动磁矩，进动磁矩永远是反磁性的. 当然，取向磁化的效应比这样的力学效应要强，所以可以压制这样的力学效果，体现出顺磁性.

如果考虑到量子效应、电子自旋磁矩等等，还有铁磁性的效果.

因为历史上我们把磁化率定义为 M⃗=χmH⃗\vec{M}=\chi_m\vec{H} 中的 χm\chi_m，所以上面式子中的 λH\lambda_H 并没有名字.

同时，在电磁波的情况下，不同的频率会对应不同的磁化率与极化率，甚至对于导体，可能会出现复极化率等等.

介质中的 Maxwell 方程组

Ohm 定律：j⃗=σE⃗\vec{j}=\sigma\vec{E} (σ\sigma 是电导率). 这个写法是微观的，和电工学上的 Ohm 定律本质上相同.

考虑一个闭合曲面 SS，对于每一个面元 dS\text{d}S，有一部分偶极子的一半伸出这个面元，所以

dQ=qnl⃗⋅dS⃗=p⃗⋅dS⃗⟹Q=∬SP⃗⋅dS⃗\text{d}Q=qn\vec{l}\cdot\text{d}\vec{S}=\vec{p}\cdot\text{d}\vec{S}\Longrightarrow Q=\iint_S\vec{P}\cdot\text{d}\vec{S}

上式是外部的静电量，内部对应的有相反量的电荷，

∭VρPdτ=−∬SP⃗⋅dS⃗=−∭V(∇⋅P⃗)dτ\iiint_V\rho_P\text{d}\tau=-\iint_S\vec{P}\cdot\text{d}\vec{S}=-\iiint_V(\nabla\cdot\vec{P})\text{d}\tau

所以 ∇⋅P⃗=−ρP\nabla\cdot\vec{P}=-\rho_P (ρP\rho_P 是极化电荷的密度). 而 P⃗=χeε0E⃗\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E}，所以有

−ρP=χeε0⋅ρtotε0=χeρtot-\rho_P=\chi_e\varepsilon_0\cdot\frac{\rho_{\text{tot}}}{\varepsilon_0}=\chi_e\rho_{\text{tot}}

总电荷密度、自由电荷密度和极化电荷密度都是正比关系. 再由电荷守恒，

∇⋅j⃗P+∂ρP∂t=0⟹∇⋅j⃗P=−∂ρP∂t=∇⋅∂P⃗∂t\nabla\cdot\vec{j}_P+\frac{\partial\rho_P}{\partial t}=0\Longrightarrow\nabla\cdot\vec{j}_P=-\frac{\partial\rho_P}{\partial t}=\nabla\cdot\frac{\partial\vec{P}}{\partial t}

这个散度等式在任何地点都要成立，所以原函数相等，

j⃗P=∂P⃗∂t\vec{j}_P=\frac{\partial\vec{P}}{\partial t}

这是极化电流，是介质中位移电流的一个部分.

对于介质的界面而言，可以用 Gauss 定理得到 σP=−n^12⋅(P⃗2−P⃗1)\sigma_P=-\hat{n}_{12}\cdot(\vec{P}_2-\vec{P}_1) (n^12\hat{n}_{12} 是介质 1 指向介质 2 的法向).

对于磁化，总磁化电流：

∬Sj⃗m⋅dS⃗=Im=∮Lina⃗⋅dl⃗=∮LM⃗⋅dl⃗\iint_{S}\vec{j}_m\cdot\text{d}\vec{S}=I_m=\oint_L in\vec{a}\cdot\text{d}\vec{l}=\oint_L\vec{M}\cdot\text{d}\vec{l}

于是有

j⃗m=∇×M⃗\vec{j}_m=\nabla\times\vec{M}

(磁化电流密度是磁化强度的旋度).

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2025/9/28 07:59
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