外观
Lesson 24 狭义相对论的速度变换
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2025-12-09
之前的推导中,「时钟」只是测量时间间隔的一种工具,实际上所有物理过程的时间尺度都会发生变化. 同时在狭义相对论的语境下,「速度」不能够很好地描述运动,取而代之的是 γ 因子.
/Example/
实验室中产生的 π 介子寿命是 2.56×10−8 s (自己的固有系中),γ=71.
在实验室系中飞行 6 m 之后,剩下来的粒子数是
N0N=exp(−γτt)≈99%
相较于没有 γ (非相对论理论) 的 ≈40% 的结果,可以验证相对论的正确性.
在 π 介子静止系看来,探测器的这 6 m 长度缩短到 0.084 m,相对运动的时间也远小于粒子的固有寿命.
在生活中,我们的 GPS 定位也是要做相对论效应的修正. 如果相对论不成立,我们只需要三颗卫星来求解地球上某一点的坐标;但是现在时间也是相对的,所以必须考虑第四颗卫星做时间修正.
因果律的限制:假设地面上两件事件 (xp,tp) 和 (xq,tq),其中 tp<tq. 飞船系观测到的时间间隔为
tq′−tp′=γ(tq−tp)−c2γv(xq−xp)
时间顺序可能发生颠倒. 但是这样是否会影响因果律?答案是不会,因为如果这两件事没有关联,那么时序颠倒并不产生任何后果;而如果之间有关联,那么关联必须以低于电磁波的速度来传递,也就是:
tq−tp⩾cxq−xp>c2v(xq−xp)
所以因果律不会被破坏.
相对论的速度合成:
dx′=1−v2/c2dx−vdt=1−v2/c2ux−vdt,dt′=1−v2/c2dt−vdx/c2=1−v2/c21−vux/c2dt
其中 ux=dx/dt (地面系中的速度). 所以相对运动系中的速度是
ux′=dt′dx′=1−vux/c2ux−v,uy′=γ(1−vux/c2)uy,uz′=γ(1−vux/c2)uz
这是三维速度的变换式,而三维速度并不是四维矢量,所以变换法则和时空坐标的变换不同. 为了更好地描述四维的速度变换,在之后我们要引入四维动量的变换.
相对论原理的四维表述:定义线元
dx2+dy2+dz2−c2dt2=ds2
线元在四维的变换下保持不变. 如果用 ict 规则,那么 Lorentz 矩阵为
L=γ00−iγv/c01000010iγv/c00γ
更新日志
2025/12/9 11:22
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