外观
Lesson 19 辐射 (二)
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2025-11-20
球面波方程
r21∂r∂(r2∂r∂φ)−c21∂t2∂2φ=0
它的通解为
φ(r,t)=r1[f(t−cr)+g(t+cr)]
这里的 g 表现为汇聚的波形,不符合物理实际,我们只考虑 f 的部分. 对于场源 Q(t−r/c) 来说,我们猜测
φ(r,t)=4πε0r1Q(t−cr)
因为现在没有唯一性定理了 (电磁场是动态的),所以要来验证这个解确实是 d'Alembert 方程的特解:
∇2φc21∂t2∂2φ=f∇2r1+2∇r1⋅∇f+r1∇2f=c21r1∂t2∂2f
在 x′ 处的电荷在场点 x 的势是
φ(x,t)=4πε0rQ(x′,t−cr)
这就是所谓推迟势. 利用叠加原理推广,
φ(x,t)=4πε01∫V′rρ(x′,t−cr)dτ′
同理,磁矢势
A(x,t)=4πμ0∫V′rj(x′,t−cr)dτ′
这两者恰好是符合 Lorentz 规范条件.
下面考虑简谐的电流变化,取 j(x′,t′)=j(x′)e−iωt′,ρ(x′,t′)=ρ(x′)e−iωt′,其中 t′=t−r/c. 有:
A=4πμ0∫V′rj(x′)e−i(kr−ωt)dτ′
之后我们开始近似:有三个区域,
- 近区 (似稳区):r≪λ,但是满足 r≫l (线度),有 kr≪1,推迟因子 ≪1,几乎是即时响应.
- 过渡区:r≫λ,这里没办法具体做近似.
- 远区 (辐射区):r≫l2/λ,有显著的推迟效应.
远区可以展开整个推迟势,
A(x)=4πRμ0eikR∫V′j(x′)[1−ikn^⋅x′+21(ikn^⋅x′)2+⋯]dτ′
远场下,也存在关系 ∇→ik,和平面波的情况类似.
更新日志
2025/11/20 07:14
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