外观
Lesson 26 暴涨
约 1473 字大约 5 分钟
2026-05-29
上节课最后说到一个问题,就是 CMB 的结果表明宇宙间各处存在相关性. 研究 co-moving time,
ds2=a2(−dτ2+dx2)
有 τ∼t1/2∼a (0<τ<∞). 我们看到的光子来自 T≃0.3 eV 的时代,所以我们可观测宇宙的边界就在此处,这被称为 last scattering surface (最后散射面). 在此之前,两个最远端的光子再往前画光锥,应该能够相交,否则它们之间没有任何关系. 当前观测到的 CMB 能量是 2.73 K,对应 3×10−4 eV,与最后散射面之间的红移刚好是 1100,可以用三角相似的关系推出过去光锥应该无法相交,这是减速膨胀宇宙的固有问题.
如果宇宙加速膨胀呢?尝试一下,假设 a∼tp,那么 dτ=a−1dt=t−pdt,于是 τ=−(p−1)−1t−p+1,当然我们已经设定了 p>1. 现在 τ 是负的,也就是说最后散射面之前的光锥现在可以无限延长了,可以相交,这就能够解决所谓的 horizon problem.
所以那时 Guth 等几个科学家分别提出了暴涨的理论.
现在我们考虑一下怎么实现一个加速膨胀的宇宙. 这并不是一个很困难的事情,那时候人们已经知道由能量主导的宇宙会加速膨胀,
H02=38πGρ=const.⟹aa˙=H02⟹a=a0eH(t−t0)
人们现在想要构造一个真空能出来. Guth 构造了下面的场:
L=21∂μ∂μϕ−V(ϕ)
本来对于一些平常的粒子,这里的 V 本来应该写类似于动能加势能的东西,但是现在这个场有相互作用,因此写一个一般的形式. 这个真空场的能量曲线上有两个低谷,其中更高的稳定平衡被认为是暴涨,但是之后会 tunneling 回到更低的态,也就是结束暴涨. 但是 Guth 的想法最大的问题是,这个状态如果要存在足够久,那么一级相变的反应率就要远远低于 H,这会导致无法落回更低的态.
Linde 提出一个更简单也更好的模型. 考虑作用量
S=∫d4xg[−21gμν∂μϕ∂νϕ−V(ϕ)]
我们仔细算一下作为练习.
S=∫dtd3x⋅a3{21ϕ˙2−21a−2[i∑(∂xi∂ϕ)2]−V(ϕ)}=∫dtd3x⋅L(ϕ)[21a3ϕ˙2−21ai∑(∂xi∂ϕ)2−a3V(ϕ)]
带着积分做变分 (为了更好地算偏导数那一项),
⟹⟹⟹∫d3x[∂t∂(a3ϕ˙)+a3∂ϕ∂V+a∂xi∂ϕ∂xi∂δ3(x−y)]∂t∂(a3ϕ˙)+a3∂ϕ∂V−a∇2ϕ=0a3ϕ¨+3a2a˙ϕ˙+a3∂ϕ∂V−a∇2ϕ=0ϕ¨+3Hϕ˙+∂ϕ∂V=0
这是一个 ϕ 的阻尼振荡,我们取第三项为 m2ϕ. 当 H≪m 时,这是一个衰减振幅的振荡 (但是是低阻尼),可以振荡很多个周期,ϕ∼e−Htcosωt;反之,是过阻尼,这时候近似解为 ϕ∼e−m2t/3H. 那么这时候 ϕ 缓慢演化,给了暴涨足够的时间,然后突然下降到很低的值使得宇宙进入正常的膨胀阶段.
也就是随着 m 变化,ϕ 先缓慢衰减,然后到 m≫H 的时候迅速下降.
当然只要势能足够平坦,就能实现上面这种过程. 实际上就是把过阻尼应用到整个宇宙上面.
暴涨开始的时候很早,不应该是在 CMB 时发生,因为 CMB 的温度还是比较低;我们从 BBN 开始算,TBBN∼1 MeV. 在暴涨阶段是能量主导,这里对应的 co-moving time τ 相比 0.3 eV 时的 τ=10−3 要更早几个量级,应该至少是 10−10 量级.
认为现在的各个量是 H0,t0,τ0. 那么
(aa0)−2=HH0=(tt0)−1=(ττ0)−2=(τ1)−2
(这里设定了当前的 τ0=1.) 同时,有条件
aa˙=2t1=H
我们下一步的目标是算出 a 和 τ 之间的比例系数.
注意
ahp 在课上放弃推导了...
总之结论是「τ=−1 和 τ⋆′ 之间的 ratio」与「τ=1 和 τ⋆ 之间的 ratio」是相同的 (这个 τ⋆ 和 τ⋆′ 分别是暴涨结束后的瞬间和暴涨结束前的瞬间的两个 co-moving 时刻),也就是暴涨膨胀的倍数应该和热大爆炸宇宙学膨胀的倍数至少一样,这样计算出来暴涨需要膨胀 1030 倍.
另一个限制条件是,重子的形成问题 (Baryogenesis),这一点会限制出更高的倍数.
暴涨试图解决的第三个问题也会做出限制,这就是磁单极子的存在性问题. 它的 motivation 比较强,因为 Dirac 证明了只要存在磁单极子,那么电荷就必须是量子化的. 这一点给出类似的限制倍数.
更新日志
2026/5/29 08:43
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b8929-feat(notes): update; feat(bangumi): cahnge proxy rules于
