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Lesson 2 度规和联络

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2026-02-28

说一下考核方式：40%40\% 作业，60%60\% 考试，考试大概率是开卷考试.

现在我们有 dxμ\text{d}x^\mu (vector) 和 dτ\text{d}\tau (scalar). 可以定义四维速度

Uμ=dxμdτU^\mu = \frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}

同时还有 mm (scalar). 之前我们已经说过四维动量了，到这里为止我们可以开始推广 Newton 第二定律. 但是什么是四维力 fμf^\mu 呢？这里就需要搞明白力的来源.

我们从来没有见过把压力浮力这些东西写成相对论协变形式的，这涉及到一个「有效理论」的问题. 考查压力浮力的能标，大约是 100 eV10^0\text{ eV} 的程度，而相对论显著的能标应该和电子的静能可以比拟，比如 0.5 MeV0.5\text{ MeV} 的级别. 因此考虑用电磁场来产生这个四维力. 为此，引入一个反对称张量

Fμν=∂μAν−∂νAμ,F=(0ExEyEz−Ex0Bz−By−Ey−Bz0Bx−EzBy−Bx0)F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,\quad F = \begin{pmatrix} 0&E_x&E_y&E_z\\ -E_x&0&B_z&-B_y\\ -E_y&-B_z&0&B_x\\ -E_z&B_y&-B_x&0 \end{pmatrix}

来描述电磁场. 力是一个矢量，我们上节课已经学过如何用一个张量构造一个矢量，也就是要找一个矢量和这个张量缩并，有

dPμdτ=fμ=QFμνUν\frac{\text{d}P^\mu}{\text{d}\tau} = f^\mu = QF^{\mu\nu}U_\nu

现在来检查这个式子能否回到 Newton 理论. 对于 μ=0\mu=0，LHS\text{LHS} (dm/dτ\text{d}m/\text{d}\tau) 的 leading order 是 00 (dτ≈dt\text{d}\tau\approx\text{d}t)，和 RHS\text{RHS} 相符合；第二阶是 F0iUi=E⃗⋅v⃗F^{0i}U_i=\vec{E}\cdot\vec{v}，就是功率. 其他分量也是类似的.

下一步我们尝试定义电流，考虑一堆粒子，第 nn 个粒子带电 QnQ_n. 那么电荷密度就是

ρ(x⃗,t)=∑nQnδ3(x⃗−x⃗n(t))\rho(\vec{x},t) = \sum_nQ_n\delta^3(\vec{x}-\vec{x}_n(t))

对全空间积分就是总电荷 (验证了我们的定义没问题)，且 ∑nQn\sum_nQ_n 是一个标量. 为了构造一个 4-电流密度 JμJ^\mu，首先其 00 分量应该就是电荷密度；ii 分量按照三维电流密度的定义，

Ji(x⃗,t)=∑nQn⋅dx⃗n(t)dτδ3(x⃗−x⃗n(t))J^i(\vec{x},t) = \sum_nQ_n\cdot\frac{\text{d}\vec{x}_n(t)}{\text{d}\tau}\delta^3(\vec{x}-\vec{x}_n(t))

由电荷守恒，流应该满足 ∂μJμ=0\partial_\mu J^\mu = 0. 因为 ∂μ\partial_\mu 是一个协变矢量、右边是个标量，因此 JμJ^\mu 是一个四维矢量.

这里说一下「∂μ\partial_\mu 是协变矢量」的证明.

考虑把它作用在一个 scalar 函数 ff 上，f′(x′)=f(x)f'(x')=f(x)，有

∂μ′f=∂f′(x′)∂x′μ=∂f′(x′)∂xν∂xν∂x′μ=∂f(x)∂xν∂xν∂x′μ=Λμν∂νf\partial'_\mu f=\frac{\partial f'(x')}{\partial x'^\mu} = \frac{\partial f'(x')}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}= \frac{\partial f(x)}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}= \Lambda_\mu{}^\nu\partial_\nu f

它的变换规则是乘一个 Λμν\Lambda_\mu{}^\nu，所以这个算符是一个协变矢量.

定义了电流之后，我们可以接下去同理定义 4-动量和 4-动量流，

Tαβ{Tα0(x⃗,t)=∑nPnα(t)δ3(x⃗−x⃗n(t))Tαi(x⃗,t)=∑nPnα(t)dxidtδ3(x⃗−x⃗n(t))T^{\alpha\beta}\left\{\begin{aligned} &T^{\alpha0}(\vec{x},t) = \sum_n P_n^\alpha(t)\delta^3(\vec{x}-\vec{x}_n(t))\\\\ &T^{\alpha i}(\vec{x},t) = \sum_n P_n^\alpha(t)\frac{\text{d}x^i}{\text{d}t}\delta^3(\vec{x}-\vec{x}_n(t)) \end{aligned}\right.

这和起来是能动张量.

Einstein 到此为止遇到了新的两个大问题：我们怎么找惯性参考系？引力的 Newton 公式怎么变成协变的形式？

但是他突然意识到等效原理 —— 引力的荷竟然和惯性质量是一样的. 在物理学的历史上，很少有物理量可以做两件事情，既是 Newton 定律的惯性表征、又是引力定律的参数，这是非常特殊的.

为了弄清这里的细节，先不考虑任何力，在某个参考系中，

d2ξμdτ2=0\frac{\text{d}^2\xi^\mu}{\text{d}\tau^2}=0

现在试图计算一个新的系 xμ(ξ)x^\mu(\xi) 中，加速度是什么.

d2xμ(ξ)dτ2=ddτ(dxμdτ)=ddτ(∂xμ∂ξαdξαdτ)=ddτ(∂xμ∂ξα)dξαdτ+∂xμ∂ξαd2ξαdτ2‾0=∂2xμ∂ξβ∂ξαdξβdτdξαdτ=∂2xμ∂ξβ∂ξα∂ξα∂xρ∂ξβ∂xσ‾Γμρσdxρdτdxσdτ\begin{aligned} \frac{\text{d}^2x^\mu(\xi)}{\text{d}\tau^2}&=\frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\right) = \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\alpha}\frac{\text{d}\xi^\alpha}{\text{d}\tau}\right)\\\\ &=\frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\alpha}\right)\frac{\text{d}\xi^\alpha}{\text{d}\tau}+ \underset{0}{\underline{\frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\alpha}\frac{\text{d}^2\xi^\alpha}{\text{d}\tau^2}}}\\ &=\frac{\partial^2x^\mu}{\partial\xi^\beta\partial\xi^\alpha}\frac{\text{d}\xi^\beta}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}\xi^\alpha}{\text{d}\tau}\\\\ &= \underset{\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma}}{\underline{\frac{\partial^2x^\mu}{\partial\xi^\beta\partial\xi^\alpha}\frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\rho}\frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\sigma}}}\frac{\text{d}x^\rho}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\sigma}{\text{d}\tau} \end{aligned}

Newton 第二定律就可以写成

md2xμdτ2=mΓμρσdxρdτdxσdτm\frac{\text{d}^2x^\mu}{\text{d}\tau^2} = m\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma}\frac{\text{d}x^\rho}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\sigma}{\text{d}\tau}

我们写成这样的目的是，当我们的公式中仅仅只有这个参考系的量时，那么公式本身和参考系的选取就已经无关了. 这是某种所谓的规范对称性.

RHS\text{RHS} 现在是某种 inertial force (也就是惯性力). 现在，右边的 mm 是力的 charge 而不是惯性质量了，因为它是换参考系之后产生力的原因，而左边 mm 仍然是惯性质量. 如果把引力写成右侧这种形式，引力荷的问题似乎就可以迎刃而解.

另一个重要的问题是如何去寻找惯性系. Newton 并没有非常仔细地思考这一问题；Mache 认为惯性系应该由远处的大质量天体共同定义. Einstein 认为 Mache 启发了他，他提出自由下落的电梯中的体验和所谓的惯性系几乎一致，也就是用局域的引力场定义了什么是「惯性」.

提示

这里可以看出，实际上 Einstein 的思路和 Mache 的几乎完全相反，前者用局域的引力场和自由落体定义惯性，而后者是用无穷远处的天体定义惯性系. 但是 Einstein 自己认为他受到了启发 ...

Einstein 电梯需要 clarify 的一点是，我们仅仅只能在 局域上 用惯性力 cancel 这个引力.

在细说等效原理之前，我们还是花时间来说一下任意参考系的度规. 之前在惯性系我们的理论一直建立在 ημν\eta_{\mu\nu} 这个度规上，对于任意参考系，我们有

dτ2=−ηαβdξαdξβ=−[ηαβ∂ξα∂xμ∂ξβ∂xν]‾gμνdxμdxν\text{d}\tau^2 = -\eta_{\alpha\beta}\text{d}\xi^\alpha\text{d}\xi^\beta = -\underset{g_{\mu\nu}}{\underline{\left[\eta_{\alpha\beta}\frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\nu}\right]}}\text{d}x^\mu\text{d}x^\nu

这就定义出了任意参考系的度规 gμνg_{\mu\nu}.

观察一下发现，似乎给 gμνg_{\mu\nu} 求个导能得到和 Γμρσ\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma} 有关系的某种式子. 现在来试着计算：考虑一个全局的参考系，

∂gμν∂xλ=ηαβ(∂2ξα∂xλ∂xμ∂ξβ∂xν+∂ξα∂xμ∂2ξβ∂xλ∂xν)(1)\begin{aligned} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} &= \eta_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu}\frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\nu}+\frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2\xi^\beta}{\partial x^\lambda\partial x^\nu}\right)\\\\ \end{aligned}\tag{1}

为接下去计算，下式对 xλx^\lambda 求导：

∂ξα∂xμ⋅∂xμ∂ξβ=δαβ\frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu}\cdot\frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\beta} = \delta^\alpha{}_\beta

得到

∂2ξα∂xλ∂xμ∂xμ∂ξβ+∂ξα∂xμ∂∂xλ(∂xμ∂ξβ)=0\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu} \frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\beta} + \frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\lambda} \left( \frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\beta} \right) = 0

这里要注意，第二项括号里的 ∂xμ∂ξβ\displaystyle{\frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\beta}} 是 ξ\xi 的函数，所以对 xλx^\lambda 求导时需要用链式法则展开：∂∂xλ=∂ξγ∂xλ∂∂ξγ\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x^\lambda} = \frac{\partial\xi^\gamma}{\partial x^\lambda} \frac{\partial}{\partial\xi^\gamma}}. 于是得到：

∂2ξα∂xλ∂xμ∂xμ∂ξβ+∂ξα∂xμ(∂2xμ∂ξγ∂ξβ∂ξγ∂xλ)=0\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu} \frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\beta} + \frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial^2 x^\mu}{\partial\xi^\gamma\partial\xi^\beta} \frac{\partial\xi^\gamma}{\partial x^\lambda} \right) = 0

为了解出 ∂2ξα∂xλ∂xμ\displaystyle{\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu}}，我们在等式两边同时乘以 ∂ξβ∂xσ\displaystyle{\frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\sigma}}，利用 ∂xμ∂ξβ∂ξβ∂xσ=δμσ\displaystyle{\frac{\partial x^\mu}{\partial\xi^\beta} \frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\sigma} = \delta^\mu{}_\sigma} 进行缩并：

∂2ξα∂xλ∂xμδμσ=−∂ξα∂xμ∂2xμ∂ξγ∂ξβ∂ξγ∂xλ∂ξβ∂xσ\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu} \delta^\mu{}_\sigma = -\frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial^2 x^\mu}{\partial\xi^\gamma\partial\xi^\beta} \frac{\partial\xi^\gamma}{\partial x^\lambda} \frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\sigma}

整理一下指标 (把左边的 σ\sigma 换回 μ\mu，右边的求和指标 μ\mu 换成 ρ\rho 以免混淆)，得到二阶导数的关系式：

∂2ξα∂xλ∂xμ=−∂ξα∂xρ(∂2xρ∂ξγ∂ξβ∂ξγ∂xλ∂ξβ∂xμ)\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu} = -\frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\rho} \left( \frac{\partial^2 x^\rho}{\partial\xi^\gamma\partial\xi^\beta} \frac{\partial\xi^\gamma}{\partial x^\lambda} \frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\mu} \right)

观察括号里的部分，这正是联络 Γρλμ\Gamma^\rho{}_{\lambda\mu} 的定义. 所以有：

∂2ξα∂xλ∂xμ=−Γρλμ∂ξα∂xρ\frac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\lambda\partial x^\mu} = -\Gamma^\rho{}_{\lambda\mu} \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\rho}

现在把这个结果代回最初对度规 gμνg_{\mu\nu} 求导的式子 (1)(1) 得到

∂gμν∂xλ=ηαβ(−Γρλμ∂ξα∂xρ∂ξβ∂xν−Γρλν∂ξβ∂xρ∂ξα∂xμ)\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} = \eta_{\alpha\beta} \left( -\Gamma^\rho{}_{\lambda\mu} \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\rho} \frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\nu} - \Gamma^\rho{}_{\lambda\nu} \frac{\partial \xi^\beta}{\partial x^\rho} \frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu} \right)

注意到 ηαβ∂ξα∂xρ∂ξβ∂xν=gρν\displaystyle{\eta_{\alpha\beta} \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\rho} \frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\nu} = g_{\rho\nu}} 以及 ηαβ∂ξα∂xμ∂ξβ∂xρ=gμρ\displaystyle{\eta_{\alpha\beta} \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\rho} = g_{\mu\rho}}，代入后得到：

∂λgμν=−Γρλμgρν−Γρλνgμρ=−(Γνλμ+Γμλν)\partial_\lambda g_{\mu\nu} = -\Gamma^\rho{}_{\lambda\mu} g_{\rho\nu} - \Gamma^\rho{}_{\lambda\nu} g_{\mu\rho} = -(\Gamma_{\nu\lambda\mu} + \Gamma_{\mu\lambda\nu})

这就是度规求导与联络的基本关系. 为了彻底解出 Γ\Gamma，利用指标循环置换：

  1. ∂λgμν=−Γνλμ−Γμλν\partial_\lambda g_{\mu\nu} = -\Gamma_{\nu\lambda\mu} - \Gamma_{\mu\lambda\nu}

  2. ∂μgνλ=−Γλμν−Γνμλ\partial_\mu g_{\nu\lambda} = -\Gamma_{\lambda\mu\nu} - \Gamma_{\nu\mu\lambda}

  3. ∂νgλμ=−Γμνλ−Γλνμ\partial_\nu g_{\lambda\mu} = -\Gamma_{\mu\nu\lambda} - \Gamma_{\lambda\nu\mu}

    计算 (1)−(2)−(3)(1) - (2) - (3)，并利用对称性 Γλμν=Γλνμ\Gamma_{\lambda\mu\nu} = \Gamma_{\lambda\nu\mu}，可以发现等式右边大部分项抵消了，只剩下：

    ∂λgμν−∂μgνλ−∂νgλμ=2Γλμν\partial_\lambda g_{\mu\nu} - \partial_\mu g_{\nu\lambda} - \partial_\nu g_{\lambda\mu} = 2\Gamma_{\lambda\mu\nu}

最后，两边乘以 12gσλ\displaystyle{\frac{1}{2}g^{\sigma\lambda}} 来抬升指标，就得到了最终的联络表达式：

Γσμν=12gσλ(∂μgνλ+∂νgλμ−∂λgμν)\Gamma^\sigma{}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\sigma\lambda} ( \partial_\mu g_{\nu\lambda} + \partial_\nu g_{\lambda\mu} - \partial_\lambda g_{\mu\nu} )

注意

实际上老师在课堂上推导的时候犯了一个正负号错误.

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2026/2/28 14:50
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