外观
Lesson 18 Hawking 辐射
约 1543 字大约 5 分钟
2026-04-26
我们上节课说了引力波的探测. 在 Michaelson 干涉仪中,两个方向分别是
E1=−21E0e−iωLt+2ikLLxE2=21E0e−iωLt+2ikLLy
其中前面的负号来源于某面镜子上反射的半波损失. 接收端收到的场强分布是
E1+E2=21E0e−iωLt(e2ikLLy−e2ikLLx)
光强 ∣E∣2=E02sin2kL(Ly−Lx). 这是没有广义相对论效应的情况. 如果考虑广义相对论效应,那么
ds2=−dt2+(1+h+(t,x))dx2+(1−h+(t,x))dy2+dz2
在 x^ 方向,dx=±dt(1−h+(t,x))1/2. 同时我们估算一下,LIGO 探测的引力波频率是 100 Hz 级别,也就是说波长是地球半径的量级,λ≫L (干涉仪的尺度),可以忽略度规对空间的依赖. 也就是,
dx≈±dt[1−21h+(t)]
因此在 x^ 光走过的两段分别有
Lx−Lx=t1−t2−21∫t0t1h+(t′)dt′=t2−t1+21∫t1t2h+(t′)dt′
上下两式相减,
t2−t0=2Lx+h0LxωGWLxsinωGWLxcos[ωGW(t0+Lx)]
其中,h+=h0cos(ωGWt). 同理,
t2−t0=2Ly−h0LyωGWLysinωGWLycos[ωGW(t0+Ly)]
让它们的 t2 相等,分析其相位差,就可以得到引力波的频率.
引力波说完了,之后我们讲 Hawking radiation. 如果要发生这种 radiation,必须满足两个条件:
- 这必须是一个量子的理论;
- 体系有全局 Killing vector 时,我们可以解定态 Schrödinger 方程;但是这里进入视界之后,类时变为类空,度规显含时间 —— 因此第二个条件是我们的 Hamiltonian 需要显含时间,H=H(t).
Hamiltonian H(p,q),其中 [p,q]=−i.
H=21mp2+21kq2
我们知道动量和位置算符在粒子数表象下是 q=A(a+a†)、p=iB(a−a†). 同时,[a,a†]=i. 代入后得到 B=−1/(2A),又因为 H 和 a†a 相关,因此得到 B/A=−(m/k)1/2. 于是
H=ω(a†a+21),ω=mk.
此时能够构造本征态,
a∣0⟩=0,(∂q∂+mωq)ψ0(q)=0⟹ψ0(q)∼e−mωq2
From Schrödinger to Heisenberg:假设 Hamiltonian 和时间没关系,那么能够直接写出 ψ(t). 换成 Heisenberg 表象就是
dtdO(t)=i[H(t),O(t)]
以谐振子为例,这里 H=p2/2+ω2q2/2,求出升降算符随时间的演化
⟹a˙(t)=i[H,a]=−iωa,a˙†=iωa†a=e−iωta(0),a†=eiωta†(0)
如果在谐振子 Langrangian 中加入一项,
L(t,q,q˙)=21q˙2−21ω2q2+J(t)q,p=δq˙δL−q˙
有:
H=pq˙−L=21p2−21ω2q2−J(t)qq˙=i[H,q]=pp˙=i[H,p]=−ω2q+J(t)
在有驱动力的情况下,写出升降算符的变化,
a˙(t)=−iωa(t)+2ωiJ(t)a˙†(t)=iωa†(t)−2ωiJ(t)
解得,
a(t)=[a(0)+2ωi∫0teiωt′J(t′)dt′]e−iωta†(t)=[a†(0)−2ωi∫0te−iωt′J(t′)dt′]eiωt
Heisenberg 表象说,态是不变的,定义 in 和 out 的两个本征态,
ain=a(0),ain†=a†(0),aout=a(T)e−iωT,aout†=a†(T)eiωT
同时把上面的积分定义为 J0. 于是,
aout=a(T)e−iωT=(ain+J0),aout∣0⟩in=J0∣0⟩in,∣n⟩in=n!1(aout†)n∣0⟩out
因此,
n∑Λnn∣n−1⟩out=J0n∑Λn∣n⟩out⟹Λn+1=n+1J0Λn
通项为 Λn=n!J0nΛ0. 其中,Λ0=e−J02/2. 一个 in 的态写成
∣0⟩in=e−J02/2n∑n!J0n∣n⟩out
这等价于从真空 (∣0⟩) 中产生了粒子.
我们还需要简单的量子场论,考虑一个最简单的例子,
L=−21∂μϕ∂μϕ−21m2ϕ2=21ϕ˙2−21∇ϕ∇ϕ−21m2ϕ2
(Lagrangian density) 其中 ϕ 是一个标量场,可以做 Fourier 变换,
ϕ(x)=∫(2π)3/2d3kϕk(t)eik⋅x
Lagrangian 是
L=∫Ld3x=21∫d3k(ϕ˙kϕ˙−k−ω2ϕkϕ−k)=∫d3k(∣ϕk∣2−ωk2∣ϕ−k∣2)
这说明,一个标量场等价于很多谐振子的集合. 下一步仍然是量子化谐振子,以及求升降算符,略去过程,我们最终会得到
a_{\vec{k}} = \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}}}{2}}\left(\phi_{\vec{k}}+\frac{\text{i}\pi_\vec{k}}{\omega_{\vec{k}}}\right),\quad a_{\vec{k}}^\dagger = \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}}}{2}}\left(\phi_{\vec{k}}-\frac{\text{i}\pi_\vec{k}}{\omega_{\vec{k}}}\right)
这里 π 是正则动量.
由此,
[ak,ak′†]=δ3(k−k′)
Hamiltonian 写成
H=21∫d3k(πk2+ωkϕk2)=∫d3k⋅ωk[ak†ak+21δ3(0)]
注意
这里的 (2π)3δ3(0)=V,来源于空间无穷大造成的零点能发散.
更新日志
2026/4/25 18:12
查看所有更新日志
af58d-feat(note): update于
