绝热近似：简单的例子是，一个人拿着一个箱子，箱子里有一个单摆. 如果人不动，那么单摆有一个固有的周期，这就是系统内部的某种时间尺度. 但是人在移动 (不管是在走动，还是随着地球转动)，也有一个外在的时间尺度.

如果两个时间尺度相差比较大，那么可以做某些好的近似. 在量子力学的 adiabatic approximation 中，一般考虑的是内部的时间尺度远远短于外部的时间尺度.

/Example/

一个摆长变短的单摆 (摆线被某个人往上提).

单摆的周期是

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$

如果人拉绳比较快，那么整个运动会变成一个混沌的过程；但是如果拉绳足够慢，那每一个周期之内摆长还可以视作一个定值. 整体的频率随着时间有一个缓慢变化：

$$\omega(t)=\sqrt{\frac{g}{L(t)}}$$

绝热定理：如果初态在某一个本征态，并且影响系统的参数变化很慢，那么之后的演化也一直在这个本征态上.

在实践中，对于一个二能级系统，我们可以加入一个失谐 $\Delta = \omega_L-\omega_g$，并绝热地增大这个失谐量，下面那个能级逐渐升高，然后逐渐地经过上面那个能级的位置，之后超过这个能级 —— 此过程中，绝热能级永远是下面的那个能级，也就是粒子会留在更低的那个能级，这就实现了把布居数翻转到另一个能级上.

Q：如果我一开始不小心给了一个很大的失谐，现在下面那个能级已经超过上面那个能级了，如果在这时候调小失谐量，能不能达到同样的效果？

仍然是可以的，因为向下移动的过程中，绝热能级一直是上面的那一个.

数学上的绝热条件：

$$\left|\frac{\langle m(t)|\dot{H}(t)|n(t)\rangle}{[E_m(t)-E_n(t)]^2}\right|\ll\hbar^{-1},\quad m\neq n$$

/Example/

考虑突然把一个无限深势阱从 $a$ 变为 $2a$.

那么原来的波函数还没来得及反应，会成为新的系统中很多个激发态的叠加.

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2025/12/24 07:37

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• 5147e-feat(note): add qm note于 2025/12/24

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