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Lesson 18 双粒子系统

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2025-11-24

手算 CG 系数：

首先我们考虑 ∣j1,m1⟩\ket{j_1,m_1} 和 ∣j2,m2⟩\ket{j_2,m_2} 的叠加，一共应该是 (2j1+1)(2j2+1)(2j_1+1)(2j_2+1) 个维度.

角动量升降算符：

j±∣j,m⟩=j(j+1)−m(m±1)∣j,m±1⟩j_{\pm}\ket{j,m} = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\ket{j,m\pm 1}

定义 j⃗=j⃗1+j⃗2\vec{j}=\vec{j}_1+\vec{j}_2，则

j=j1+j2,j1+j2−1,⋯ ,∣j1−j2∣j=j_1+j_2,j_1+j_2-1,\cdots,|j_1-j_2|

能够合成的最大角动量是

∣j=j1+j2,m=j1+j2⟩=∣j1,j1⟩∣j2,j2⟩\ket{j=j_1+j_2,m=j_1+j_2}=\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2}

算 m=j1+j2−1m=j_1+j_2-1 的那一个，就在左边作用一个 j−j_-，右边作用一个 j1−+j2−j_{1-}+j_{2-}，得到

(j1+j2)(j1+j2+1)−(j1+j2)(j1+j2−1)∣j1+j2,j1+j2−1⟩=j1(j1+1)−j1(j1−1)∣j1,j1−1⟩∣j2,j2⟩+j2(j2+1)−j2(j2−1)∣j1,j1⟩∣j2,j2−1⟩\begin{aligned} &\sqrt{(j_1+j_2)(j_1+j_2+1)-(j_1+j_2)(j_1+j_2-1)}\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}=\\\\ &\sqrt{j_1(j_1+1)-j_1(j_1-1)}\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}\\\\ &\quad+\sqrt{j_2(j_2+1)-j_2(j_2-1)}\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1} \end{aligned}

左边的系数除过来就是 CG 系数. 再下一阶，应该是

j1−2∣j1,j1−2⟩∣j2,j2⟩+(j1−j2−+j2−j1−)∣j1,j1−1⟩∣j2,j2−1⟩+j2−2∣j1,j2⟩∣j2,j2−2⟩\begin{aligned} &j_{1-}^2\ket{j_1,j_1-2}\ket{j_2,j_2}+(j_{1-}j_{2-}+j_{2-}j_{1-})\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2-1}\\\\ &\quad+j_{2-}^2\ket{j_1,j_2}\ket{j_2,j_2-2} \end{aligned}

依此类推.

但是我们之后还要算 ∣j1+j2−1,j1+j2−1⟩\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-1} 的这种 (总角动量更小的)，我们虽然不知道具体的系数，但是我们知道一定是 ∣j1,j1−1⟩∣j2,j2⟩\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2} 和 ∣j1,j1⟩∣j2,j2−1⟩\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1} 的叠加，因为 mm 已经是最大的了.

因为 j=j1+j2−1j=j_1+j_2-1，所以这个态和原来的 ∣j1+j2,j1+j2−1⟩\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1} 的态正交，如果

j−∣j1+j2,j1+j2−1⟩=a∣j1,j1−1⟩∣j2,j2⟩+b∣j1,j1⟩∣j2,j2−1⟩j_-\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-1}=a\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}+b\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}

那么应该有

j−∣j1+j2−1,j1+j2−1⟩=b∣j1,j1−1⟩∣j2,j2⟩−a∣j1,j1⟩∣j2,j2−1⟩j_-\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-1}=b\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2}-a\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1}

之后可以算 ∣j1+j2−1,j1+j2−2⟩\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-2} 的态，是上面的式子再作用 j1−j_{1-} 和 j2−j_{2-} 这些算符.

那么 ∣j1+j2−2,j1+j2−2⟩\ket{j_1+j_2-2,j_1+j_2-2} 的态如何计算？我们已经在前面算出三种独立的分量：

∣j1,j1−1⟩∣j2,j2⟩,∣j1,j1⟩∣j2,j2−1⟩,∣j1,j1−2⟩∣j2,j2⟩\ket{j_1,j_1-1}\ket{j_2,j_2},\quad\ket{j_1,j_1}\ket{j_2,j_2-1},\quad\ket{j_1,j_1-2}\ket{j_2,j_2}

只要和原来的 ∣j1+j2,j1+j2−2⟩\ket{j_1+j_2,j_1+j_2-2} 和 ∣j1+j2−1,j1+j2−2⟩\ket{j_1+j_2-1,j_1+j_2-2} 正交就能算出这个新的态.

双粒子系统的 Hamiltonian 是：

H=−ℏ22m∇12−ℏ22m∇22+V(r⃗1,r⃗2,t)H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_1^2-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_2^2+V(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)

如果两个粒子没有相互作用能，可以分开 V=V(r⃗1)+W(r⃗2)V = \mathcal{V}(\vec{r}_1)+\mathcal{W}(\vec{r}_2)，这被称为全同粒子，在物理上是完全不可以分辨的.

如果势能仅取决于相对运动 r⃗1−r⃗2\vec{r}_1-\vec{r}_2，那么方程可以化为两个独立的粒子：μ=m1m2/(m1+m2)\mu=m_1m_2/(m_1+m_2) 的粒子和质心 m1+m2m_1+m_2 的粒子.

全同粒子可以写成 Ψ(r⃗1,r⃗2)=ψ(r⃗1)ψ(r⃗2)\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\psi(\vec{r}_1)\psi(\vec{r}_2). 但是这种写法本身就意味着我们可以区分这两个粒子，因为可以通过「在 1 轨道还是 2 轨道」来分辨它们，这时不考虑两个粒子的纠缠.

ψab(r⃗1,r⃗2)=A[ψa(r⃗1)ψb(r⃗2)±ψb(r⃗1)ψa(r⃗2)]\psi_{ab}(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=A[\psi_a(\vec{r}_1)\psi_b(\vec{r}_2)\pm\psi_b(\vec{r}_1)\psi_a(\vec{r}_2)]

交换坐标产生负号是 fermion，不变是 boson. 当然数学上允许一种「任意子」，交换位置之后获得一个任意的相位 eiϕe^{\text{i}\phi}，Majorana fermion 就是一种任意子.

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2025/11/25 01:57
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