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Lesson 11 不确定关系

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约 704 字大约 2 分钟

2025-10-27

下周这个时候考试.

我们已经学了第二章，知道了很多具体的例子；第三章主要是形式化的理论.

不确定关系

我们先定义一下，什么是误差：

f=(A^−⟨A⟩)ψ⟹σA2=⟨f∣f⟩f=(\hat{A}-\braket{A})\psi\Longrightarrow\sigma_A^2=\braket{f|f}

这个量 (方差) 不管均值是多少，都是非负的. 利用 Cauchy - Schwartz 不等式，应该有

∣⟨f∣g⟩∣2≤⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩=σA2σB2|\braket{f|g}|^2\leq\braket{f|f}\braket{g|g}=\sigma_A^2\sigma_B^2

考虑：

⟨f∣g⟩−⟨g∣f⟩=⟨A^B^⟩−⟨B^A^⟩=⟨[A^,B^]⟩\braket{f|g}-\braket{g|f} = \braket{\hat{A}\hat{B}}-\braket{\hat{B}\hat{A}}=\braket{[\hat{A},\hat{B}]}

我们知道 ⟨g∣f⟩=⟨f∣g⟩∗\braket{g|f}=\braket{f|g}^*，因此可以将上面的不等式写成

σA2σB2≥[12i(⟨f∣g⟩−⟨g∣f⟩)]2=[12i⟨[A^,B^]⟩]2\sigma_A^2\sigma_B^2\geq\left[\frac{1}{2\text{i}}(\braket{f|g}-\braket{g|f})\right]^2=\left[\frac{1}{2\text{i}}\braket{[\hat{A},\hat{B}]}\right]^2

因此最终得到了任意两个可观测量之间的不确定性关系：

σAσB≥12⟨[A^,B^]⟩\sigma_A\sigma_B \geq \frac{1}{2}\braket{[\hat{A},\hat{B}]}

如果我们想测量一组非对易的物理量，那么一定无法同时测准. 同样，这个推导可以推广到更多的物理量上，比如一组三个可观测量.

如果两个算符有一套共同的完备基，

P^fn=λnfn ,Q^fn=μnfn\hat{P}f_n = \lambda_nf_n\,,\quad\hat{Q}f_n=\mu_nf_n

那么拿它们的对易子对一个波函数进行作用：

[P^,Q^]f=(P^Q^−Q^P^)∑ncnfn=∑ncn(λnμn−μnλn)fn=0[\hat{P},\hat{Q}]f = (\hat{P}\hat{Q}-\hat{Q}\hat{P})\sum_n c_nf_n=\sum_nc_n(\lambda_n\mu_n-\mu_n\lambda_n)f_n=0

这说明共享一套完备基的两个算符一定是相对易的.

不确定性关系在统计力学中有很多应用，比如相空间中一个态占据的体积是 ℏ\hbar. 我们相空间的自由度来源于总的粒子数和共轭变量的个数，如果仅仅考虑三维动量和坐标，有 NN 个粒子，那么相空间的状态密度应该是 ℏ−6N\hbar^{-6N} 的量级，非常大.

虽然我们没有引入时间算符，但是时间与能量算符应该也满足共轭关系：

[E^,t^]=iℏ[\hat{E},\hat{t}]=\text{i}\hbar

于是，能量和时间的不确定度也存在不确定性关系：

τ∼ℏΔE\tau\sim\frac{\hbar}{\Delta E}

Dirac Notation

认为状态对应的波函数是矢量，可以换不同的表象：

∣S⟩=∑ncn∣en⟩ ,cn=⟨en∣S⟩\ket{S}=\sum_nc_n\ket{e_n}\,,\quad c_n=\braket{e_n|S}

这时 Schrödinger 方程写为

iℏddt∣S(t)⟩=H^∣S(t)⟩\text{i}\hbar\frac{\text{d}}{\text{d}t}\ket{S(t)}=\hat{H}\ket{S(t)}

如果选坐标基，就得到坐标空间的波函数，

ψ(x,t)=⟨x∣S(t)⟩\psi(x,t)=\braket{x|S(t)}

也可以引入动量空间的波函数 ϕ(p,t)=⟨p∣S(t)⟩\phi(p,t)=\braket{p|S(t)}、能量表象的波函数 cn(t)=⟨n∣S(t)⟩c_n(t)=\braket{n|S(t)} (离散的能级系统)……

∣S(t)⟩=∫∣x⟩⟨x∣S(t)⟩dx=∫∣p⟩⟨p∣S(t)⟩dp=∑n∣n⟩⟨n∣S(t)⟩=⋯\ket{S(t)}=\int\ket{x}\braket{x|S(t)}\text{d}x = \int\ket{p}\braket{p|S(t)}\text{d}p = \sum_n\ket{n}\braket{n|S(t)}=\cdots

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2025/10/27 12:43
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