Lesson 7 自由粒子

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2025-10-13

什么是波矢？是波动传播时，在波动方向上波的空间频率.

自由粒子的稳态 Schrödinger 方程是

\frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2}=-k^2\psi\,,\quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

一般解是

\psi(x)=Ae^{\text{i}kx}+Be^{-\text{i}kx}

加入时间解，得到

\varPsi(x,t)=Ae^{\text{i}(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}+Be^{-\text{i}(kx+\frac{\hbar k^2}{2m}t)}

对于单一的一个 $k$ ，

\varPsi_k(x,t)=Ae^{\text{i}(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}

如果 $k>0$ ，这是一个向 $+x$ 方向传播的波动.

如果归一化，那么会得到 $|\varPsi|^2=|A|^2$ 积分为 $\infty$ . 所以我们要取一个 $k$ 的范围，因为有正交归一性：

\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-\text{i}kx}e^{\text{i}k'x}\text{d}x=\delta(k-k')

为了将 $\varPsi$ 分解为本征态，我们考虑

\varPsi(x,0)=\sum_n c_n\phi_n(x)\,,\quad \varPsi(x,t)=\sum_nc_n\phi_n(x)e^{-\text{i}E_nt/\hbar}

则为了求出 $c_n$ ，对于初态两边同时乘以 $\phi_m^*(x)$ ，并积分，

\int\phi_m^*(x)\varPsi(x,0)\text{d}x=\sum_nc_n\delta_{mn}=c_m

于是波函数是

\varPsi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\phi(k)e^{\text{i}(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}\text{d}k

其中，

\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\varPsi(x,0)e^{-\text{i}kx}\text{d}x

也就是初态波函数对 $x$ 的 Fourier 变换 (到谱函数).

明天下午四点，一个 Italy 的科学家会来物理楼做报告，讲单光子源.

说到上节课的「电荷和相位形成共轭变量的问题」.

相干态就是不同粒子之间的叠加态，定义 $\alpha$ 的实部和虚部， $\alpha$ 在这个平面上是一个点， $\ket{\alpha}$ 对应的态就是以这个点为中心的一个 Gauss 波包. 如果有另外一个 $\alpha'$ 离这个点很远，我们能够区分这两个态.

但是为什么 $\phi$ 在 $N$ 表象下能够写成 $\partial/\partial N$ 的形式，我们还需要量子场论或者量子光学的知识.

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2025/10/13 07:19

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