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手算 CG 系数：

> 首先我们考虑 $\ket{j\_1,m\_1}$ 和 $\ket{j\_2,m\_2}$ 的叠加，一共应该是 $(2j\_1+1)(2j\_2+1)$ 个维度.
>
> 角动量升降算符：
> $$
> j\_{\pm}\ket{j,m} = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\ket{j,m\pm 1}
> $$
> 定义 $\vec{j}=\vec{j}*1+\vec{j}*2$，则
> $$
> j=j\_1+j\_2,j\_1+j\_2-1,\cdots,|j\_1-j\_2|
> $$
> 能够合成的最大角动量是
> $$
> \ket{j=j\_1+j\_2,m=j\_1+j\_2}=\ket{j\_1,j\_1}\ket{j\_2,j\_2}
> $$
> 算 $m=j\_1+j\_2-1$ 的那一个，就在左边作用一个 $j*-$，右边作用一个 $j*{1-}+j\_{2-}$，得到
> $$
> \begin{aligned}
> &\sqrt{(j\_1+j\_2)(j\_1+j\_2+1)-(j\_1+j\_2)(j\_1+j\_2-1)}\ket{j\_1+j\_2,j\_1+j\_2-1}=\\\\
> &\sqrt{j\_1(j\_1+1)-j\_1(j\_1-1)}\ket{j\_1,j\_1-1}\ket{j\_2,j\_2}\\\\
> &\quad+\sqrt{j\_2(j\_2+1)-j\_2(j\_2-1)}\ket{j\_1,j\_1}\ket{j\_2,j\_2-1}
> \end{aligned}
> $$
> 左边的系数除过来就是 CG 系数. 再下一阶，应该是
> $$
> \begin{aligned}
> \&j\_{1-}^2\ket{j\_1,j\_1-2}\ket{j\_2,j\_2}+(j\_{1-}j\_{2-}+j\_{2-}j\_{1-})\ket{j\_1,j\_1-1}\ket{j\_2,j\_2-1}\\\\
> &\quad+j\_{2-}^2\ket{j\_1,j\_2}\ket{j\_2,j\_2-2}
> \end{aligned}
> $$
> 依此类推.
>
> ***
>
> 但是我们之后还要算 $\ket{j\_1+j\_2-1,j\_1+j\_2-1}$ 的这种 (总角动量更小的)，我们虽然不知道具体的系数，但是我们知道一定是 $\ket{j\_1,j\_1-1}\ket{j\_2,j\_2}$ 和 $\ket{j\_1,j\_1}\ket{j\_2,j\_2-1}$ 的叠加，因为 $m$ 已经是最大的了.
>
> 因为 $j=j\_1+j\_2-1$，所以这个态和原来的 $\ket{j\_1+j\_2,j\_1+j\_2-1}$ 的态正交，如果
> $$
> j\_-\ket{j\_1+j\_2,j\_1+j\_2-1}=a\ket{j\_1,j\_1-1}\ket{j\_2,j\_2}+b\ket{j\_1,j\_1}\ket{j\_2,j\_2-1}
> $$
> 那么应该有
> $$
> j\_-\ket{j\_1+j\_2-1,j\_1+j\_2-1}=b\ket{j\_1,j\_1-1}\ket{j\_2,j\_2}-a\ket{j\_1,j\_1}\ket{j\_2,j\_2-1}
> $$
> 之后可以算 $\ket{j\_1+j\_2-1,j\_1+j\_2-2}$ 的态，是上面的式子再作用 $j\_{1-}$ 和 $j\_{2-}$ 这些算符.
>
> 那么 $\ket{j\_1+j\_2-2,j\_1+j\_2-2}$ 的态如何计算？我们已经在前面算出三种独立的分量：
> $$
> \ket{j\_1,j\_1-1}\ket{j\_2,j\_2},\quad\ket{j\_1,j\_1}\ket{j\_2,j\_2-1},\quad\ket{j\_1,j\_1-2}\ket{j\_2,j\_2}
> $$
> 只要和原来的 $\ket{j\_1+j\_2,j\_1+j\_2-2}$ 和 $\ket{j\_1+j\_2-1,j\_1+j\_2-2}$ 正交就能算出这个新的态.

双粒子系统的 Hamiltonian 是：
$$
H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\_1^2-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\_2^2+V(\vec{r}\_1,\vec{r}\_2,t)
$$
如果两个粒子没有相互作用能，可以分开 $V = \mathcal{V}(\vec{r}\_1)+\mathcal{W}(\vec{r}\_2)$，这被称为全同粒子，在物理上是完全不可以分辨的.

如果势能仅取决于相对运动 $\vec{r}\_1-\vec{r}\_2$，那么方程可以化为两个独立的粒子：$\mu=m\_1m\_2/(m\_1+m\_2)$ 的粒子和质心 $m\_1+m\_2$ 的粒子.

全同粒子可以写成 $\Psi(\vec{r}\_1,\vec{r}\_2)=\psi(\vec{r}\_1)\psi(\vec{r}*2)$. 但是这种写法本身就意味着我们可以区分这两个粒子，因为可以通过「在 1 轨道还是 2 轨道」来分辨它们，这时不考虑两个粒子的纠缠.
$$
\psi*{ab}(\vec{r}\_1,\vec{r}\_2)=A\[\psi\_a(\vec{r}\_1)\psi\_b(\vec{r}\_2)\pm\psi\_b(\vec{r}\_1)\psi\_a(\vec{r}\_2)]
$$
交换坐标产生负号是 fermion，不变是 boson. 当然数学上允许一种「任意子」，交换位置之后获得一个任意的相位 $e^{\text{i}\phi}$，Majorana fermion 就是一种任意子.