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Lesson 1 建立模型 & 常微分

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约 2957 字大约 10 分钟

2025-09-19

可以说是本科数学里面最无聊最枯燥的一门课.

相对于数学系的偏微分方程，这门课不考虑方程是不是「有解」，而是直接上手解方程，没有什么思路.

计分：期中可能有小测 (5%5\%)，如果没有就和平时成绩算在一起为 20%20\%，最后期末考试占 80%80\%.

模型的建立：方程与定解条件

物理中的数理方程

重点在于记结论.

问题的来源：

  • 静电势满足 Laplace 方程或者 Poisson 方程

    ∇⋅E⃗=ρε0 ,∇2φ=−ρε0\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\,,\quad\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}

  • 波动方程

  • 热传导问题和扩散问题中的热传导方程

  • 描写电磁场运动变化的 Maxwell 方程组

  • 作为微观物质运动基本规律的 Schrödinger 方程和 Dirac 方程

  • 连续介质力学中的 Navier–Stockes 方程组和 Euler 方程组

  • 弹性力学中的 Saint-Venant 方程组

这些 大多数 是二阶线性偏微分方程 (组).

下面导出一些方程.

弦的横振动方程

先假定力只能沿切线方向 (完全柔软，无剪切力)，且弦均匀，做小的横振动.

警告

「小振动」并不意味着振幅小，它的概念我们之后会仔细辨析.

取弦的平衡位置是 xx 轴，两端在 x=0x=0 和 x=lx=l. 偏离平衡位置的大小为 uu.

提示

这个变量用 uu，数理方程中我们所有的变量都会用 uu，这只是一个传统.

对于原长在 x→x+dxx\to x+\text{d}x 的小线元，质量为 ρdx\rho\text{d}x，xx 和 uu 方向的受力方程分别是

(Tcos⁡θ)x+dx−(Tcos⁡θ)x=0(Tsin⁡θ)x+dx−(Tsin⁡θ)x=ρdx⋅∂2u∂t2\begin{aligned} (T\cos\theta)_{x+\text{d}x}-(T\cos\theta)_x&=0\\ (T\sin\theta)_{x+\text{d}x}-(T\sin\theta)_x&=\rho\text{d}x\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2} \end{aligned}

现在要用小振动近似. 我们之前没说什么是小振动，就是因为在这里我们想让什么东西小就可以让什么东西小. 我们要求小振动的条件是：

tan⁡θ=∣∂u∂x∣≪1\tan\theta=\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|\ll1

所以 sin⁡θ≈tan⁡θ\sin\theta\approx\tan\theta，cos⁡θ≈1\cos\theta\approx1. 第一个方程立即得到 T(x)=T(x+dx)T(x)=T(x+\text{d}x)，当然我们从来没有说过 TT 也是一个关于时间的常数. 方程化为

T(∂u∂x∣x+dx−∂u∂x∣x)=ρdx⋅∂2u∂t2T\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x+\text{d}x}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x}\right)=\rho\text{d}x\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}

也就是

ρ∂2u∂t2−T∂2u∂x2=0⟹∂2u∂t2−a2∂2u∂x2=0\rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-T\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\Longrightarrow\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0

后面的是一个普遍的形式.

证明 TT 与时间无关：

线元的伸长为

ds−dx=[1+(∂u∂x)2−1]dx=O((∂u∂x)2)\text{d}s-\text{d}x=\left[\sqrt{1+\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2}-1\right]\text{d}x=O\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right)

忽略二阶的话这就是零，既然弦不伸长那么也不会有张力的变化.

如果弦在横向还另外受到一个外力，则最后方程只是多一项：

∂2u∂t2−a2∂2u∂x2=f(x) ,f(x)=F(x)ρ\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x)\,,\quad f(x)=\frac{F(x)}{\rho}

现在变成了一个线性非齐次的二阶方程.

什么是「线性」？

把 uu 换成 λu\lambda u，能够在每一个未知项里面提出来一个 λ\lambda 的就是线性的.

线性一定有叠加原理，可以把 uu 换成两个特解的线性叠加 c1u1+c2u2c_1u_1+c_2u_2.

什么是「齐次」？

未知项的次数都是同样次数的，每一项都有未知量的同样次数.

杆的纵振动

我们做非常简化的条件，不考虑横向的应力，只考虑沿着杆的受力和伸缩. 有 Hooke 定律：

P=E⋅Δll0P=E\cdot\frac{\Delta l}{l_0}

对原长在 x→x+dxx\to x+\text{d}x 的一段，

ρSdx⋅∂2u∂t2=[P(x+dx,t)−P(x,t)]S\rho S\text{d}x\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=[P(x+\text{d}x,t)-P(x,t)]S

要弄清的问题是：什么是形变？

实际上 uu 只是一段质元移动的位移，形变来源于 du\text{d}u，所以

P=E∂u∂xP=E\frac{\partial u}{\partial x}

得到方程是

∂2u∂t2−a2∂2u∂x2=0 ,a=Eρ\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\,,\quad a=\sqrt{\frac{E}{\rho}}

这个方程和上面那一个一模一样，这些统称为波动方程. 一般的波动方程是

∂2u∂t2−a2∇2u=0\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\nabla^2u=0

热传导方程

会用到两个热学的定律：

  • 能量守恒

  • 热传导的 Fourier 定律：

    单位时间通过垂直 xx 方向的单位面积的热量 qq 与温度的空间变化率成正比，

    q=−k∂u∂xq=-k\frac{\partial u}{\partial x}

    qq 是热流密度，kk 是导热率，这个负号表征热量从高温向低温传递.

我们假定 kk 和温度无关 (这是在温度变化范围不大的情况下合理的近似)，另外这个方程是稳态的定律，uu 场应该要已经建立好、不随时间变化. 三维下方程写成

q⃗=−k∇u\vec{q}=-k\nabla u

我们建立的模型是一个 ΔxΔyΔz\Delta x\Delta y\Delta z 的物块，从六个表面导热：

x - axis:[(qx)x−(qx)x+dx]ΔyΔzΔt=[(k∂u∂x)x+dx−(k∂u∂x)x]ΔyΔzΔt=k∂2u∂x2ΔxΔyΔzΔt\begin{aligned} x\text{ - axis}:&[(q_x)_x-(q_x)_{x+\text{d}x}]\Delta y\Delta z\Delta t\\\\ &=\left[\left(k\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{x+\text{d}x}-\left(k\frac{\partial u}{\partial x}\right)_x\right]\Delta y\Delta z\Delta t\\\\ &=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t \end{aligned}

其他方向可以类比，总热量流入为

(k∇2u)ΔxΔyΔzΔt(k\nabla^2u)\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t

比热容为 cc，密度为 ρ\rho，得到

∂u∂t−κ∇2u=0 ,κ=kρc\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\nabla^2u=0\,,\quad\kappa=\frac{k}{\rho c}

κ\kappa 称为扩散率. 如果介质自己内部有热量产生，则 RHS 加一项：

∂u∂t−κ∇2u=1ρcF(x,y,z,t)\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\nabla^2u=\frac{1}{\rho c}F(x,y,z,t)

扩散方程和热传导方程是同样的形式.

注意

形如热传导方程的这种称为抛物型方程.

稳定问题

比如温度稳定，

∇u2=−fκ ,f=Fρc\nabla u^2=-\frac{f}{\kappa}\,,\quad f=\frac{F}{\rho c}

静电场是 Gauss 方程 (Poisson 方程)，

∇2u=−ρε0\nabla^2 u=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}

对于波动方程，如果 uu 随时间周期变化，满足 u=ve−iωtu=ve^{-\text{i}\omega t}，则得到 Helmholtz 方程：

∇2v+k2v=0\nabla^2v+k^2v=0

总结

我们得到了不同的三类方程：

方程物理过程 (分类)数学分类
波动方程波动双曲型
热传导方程扩散抛物型
Poisson 方程
Laplace 方程
Helmholtz 方程		稳恒椭圆型

边界条件和初始条件

偏微分方程解出的「待定系数」是一个不确定的函数，如果没有 定解条件 就完全没办法得到解.

为了完全描述一个具有确定解的物理问题，在数学上需要边界条件和初始条件.

提示

lys 在课堂上装自己的电子笔装了 5 min，原因是电池装反了. 但是问题是为什么之前是反的也能用呢？

而且他发现问题的起因是想要告诉大家 φ\varphi 和 ϕ\phi 不一样.

边界条件

边界条件应该完全描写边界上各点在任一时刻的状况.

即使方程和边界条件可能出现一些矛盾，还是要以边界条件为准，因为边界是非常重要的.

比如弦的横振动，两侧固定，则边界条件是两侧的 uu 恒为零：

u∣x=0=u∣x=l=0u|_{x=0}=u|_{x=l}=0

(这是零阶的边界 - 第一类边界条件)

杆的纵振动，边界的那一小块 ε→0\varepsilon\to0，我们认为这一段没有长度、没有质量，所以也不能有加速度，这一端是自由的，则

∂u∂x∣x=l=0\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0

(这是一阶导数形式的边界 - 第二类边界条件)

如果边界上是一个弹簧，那么边界条件是

[∂u∂x+kEu]x=l=kEu0\left[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{k}{E}u\right]_{x=l}=\frac{k}{E}u_0

(这是零阶和一阶结合的边界 - 第三类边界条件)

对于热传导，有时边界温度已知：

u∣Σ=ϕ(Σ,t)u|_\Sigma=\phi(\Sigma,t)

也有时是边界上的热流已知：

∂u∂n∣Σ=1kψ(Σ,t)\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_\Sigma=\frac{1}{k}\psi(\Sigma,t)

这里的对 nn 求偏导指的是在法线方向求导，也就是 n^⋅(∇u)\hat{n}\cdot(\nabla u).

上面都是三类边界条件，但是我们还可能遇到无界的问题. 无界空间的边界条件给出未知函数在无穷远处的极限行为，要求很熟乃至它的导数在无穷远处有界.

边界条件和初始条件的区别：

初始条件都是卡在自变量的同一个位置，比如规定 t=0t=0 时刻的 uu 和 u˙\dot{u}；或者 x=lx=l 位置的 uu 和 u′u'.

边界条件则是在自变量不同地方的条件，也不会给出一个 uu 的各阶导数.

以齐次初始条件 y′∣x=0=y∣x=0=0y'|_{x=0}=y|_{x=0}=0 定解，方程只有零解；以齐次边界条件 y∣x=0=y∣x=π=0y|_{x=0}=y|_{x=\pi}=0 定解，方程有非零解 y=Csin⁡xy=C\sin x，齐次边界条件能够给出非零解.

也就是说，只有边界条件才会出现本征值问题，产生多解.

连接条件

如果问题有多种介质构成，在介质之间会产生内部的「边界」，比如电场穿过两个不同介质，这个界面上要增加连接条件.

定解问题的适定性

这是数学系的偏微分方程课最重视的问题.

偏微分方程 + 定解条件 = 定解问题.

适定性分为：

  • 解的存在性：要有解；
  • 解的唯一性：定解问题的解是唯一的；
  • 解的稳定性：定解问题中的已知条件有微小改变，解也只有微小改变.

/Example/ (一个不适定的例子)

这个问题是测量河流中的污染物，边界是岸上没有污染，初始位置没污染.

{∂2u∂x2+∂2u∂y2=00<y<l,x>0u∣y=0=u∣y=l=0x≥0u∣x=0=∂u∂x∣x=0=00≤y≤l\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0&0<y<l,x>0\\\\ u|_{y=0}=u|_{y=l}=0&x\geq0\\\\ u|_{x=0}=\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=0}=0&0\leq y\leq l \end{array}\right.

这个解就是 u=0u=0 (很好理解，上游没有污染物，下面肯定一直没有).

但是我现在做一个扰动，要求

u∣x=0=lnπsin⁡(nπly)u|_{x=0}=\frac{l}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{l}y\right)

扰动后变为

u=lnπsin⁡(nπly)cosh⁡(nπlx)u=\frac{l}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{l}y\right)\textcolor{red}{\cosh\left(\frac{n\pi}{l}x\right)}

下游出现无限大的污染.

为了定解，应该要在下游测定一个污染值，这样就把初始条件变成了边界条件，这个椭圆型方程即定解.

线性偏微分方程的通解

常微分方程

至少要会解常微分方程.

  • 常系数方程

    y′′+by′+cy=0y''+by'+cy=0

    之类. 可以利用算符，定义

    D=ddxD=\frac{\text{d}}{\text{d}x}

    得到关于 DD 的多项式乘上 yy，比如

    (D+α1)(D+α2)y=0(D+\alpha_1)(D+\alpha_2)y=0

    最终的解是 y=e−α1,e−α2y=e^{-\alpha_1},e^{-\alpha_2}.

  • Euler 方程

    x2y′′+bxy′+cy=0x^2y''+bxy'+cy=0

    令 x=etx=e^{t}，则之前的 DD 和 xx 结合，有

    D′=ddt ,xD=D′ ,x2D2=D′(D′−1) ,⋯D'=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\,,\quad xD=D'\,,\quad x^2D^2=D'(D'-1)\,,\cdots

  • 线性齐次方程可以用特解叠加得到通解.

  • 常系数非齐次方程，可以用常数变易法找一个特解.

    比如

    y′′+by′+cy=fy''+by'+cy=f

    通解是 C1y1+C2y2C_1y_1+C_2y_2，求一阶导

    C1y1′+C2y2′+C1′y1+C2′y2C_1y_1'+C_2y_2'+C_1'y_1+C_2'y_2

    因为只要找特解，所以可以强行要求后面两项和为零，有

    {C1′y1+C2′y2=0C1′y1′+C2′y2′=f\begin{cases} C_1'y_1+C_2'y_2=0\\\\ C_1'y_1'+C_2'y_2'=f \end{cases}

    定出函数系数.

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