Lesson 4 分离变量法 (三)

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2025-10-17

两端固定弦的受迫振动

/Example/

求解定解问题
$\begin{aligned} &\nabla^2u=xy\\\\ &u|_{x=0}=u|_{x=a}=0\\\\ &u|_{y=0}=\phi(x)\,,\quad u|_{y=b}=\psi(x) \end{aligned}$
我们考虑先找一个特解 $v$ ，这个特解猜测满足：
$v=f(x)y\,,\quad\left\{\begin{aligned} &f''(x)y=xy\\\\ &f(0)=f(a)=0 \end{aligned}\right.$
用多项式来估计这个结果，可以得到特解
$v=\frac{1}{6}x^3y-\frac{1}{6}a^2xy$
之后就转变为 $w$ 的非齐次稳定方程、齐次边界条件的问题.

所谓分离变量法，只是找到了一种求特解的方式，求解过程中得到了一组分离变量形式的特解，叠加得到通解. 所以说我们本质上是寻找合适的正交完备函数组.

仍然以固定弦的受迫振动为例：

\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t)\\\\ &u|_{x=0}=u|_{x=l}=0\\\\ &u|_{t=0}=0\,,\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0 \end{aligned}

我们只用先解 $X(x)$ 的本征值问题，找到

X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}\,,\quad n=1,2,\cdots

然后把 $u(x,t)$ 和非齐次项全部按照这一组基展开：

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x)\,,\quad f(x,t)=\sum_{n=1}^\infty g_n(t)X_n(x)

然后我们代到方程里，对比系数，得到

注意

这里要求我们的非齐次项和本征函数的性质都足够好，比如求和和积分可以交换，也就是一致收敛；当然在数理方程这门课里面这个条件一直会成立.

\sum T_n''(t)X_n(x)-a^2\sum T_n(t)X_n''(x)=\sum g_n(t)X_n(x)

直接用本征方程换掉 $X_n''$ 项，得到

\sum[T_n''(t)-a^2\lambda_nT_n(t)-g_n(t)]X_n(x)=0

根据正交性，如果两边乘一个 $X_m(x)$ ，积分，因为正交性，得到这一项的系数应该是零；于是每一项的系数都应该是零. 得到 $T_n(t)$ 的本征方程：

T_n''(t)+a^2\lambda_nT_n(t)=g_n(t)

这里咱们给了齐次的边界条件，也就是 $T_n(0)=0$ 和 $T_n'(0)=0$ . 所以现在我们要解一个一元的定解问题，

\begin{aligned} T''_n+a^2\lambda T_n=g_n\\\\ T_n(0)=T'_n(0)=0 \end{aligned}

因为我们还没有学 Laplace 变换和 Green 函数法，所以考虑用常数变易法来做，假设

T_n=C_n(t)\sin\frac{n\pi a}{l}t+D_n(t)\cos\frac{n\pi a}{l}t

代入边界条件得到

\begin{aligned} &C'\sin\Box+D'\cos\Box=0\\\\ &C'\cos\Box-D'\sin\Box=\frac{l}{n\pi a}g_n \end{aligned}

解得

C'=\frac{l}{n\pi a}g_n\cos\Box\,,\quad D'=-\frac{1}{n\pi a}g_n\sin\Box

积分一次，

T_n(t)=\frac{l}{n\pi a}\int_0^t g_n(\tau)\sin\left[\frac{n\pi a}{l}(t-\tau)\right]\text{d}\tau

这正是一个标准的卷积.

如果 $f(x,t)=A_0\sin\omega t$ (受迫振动)，我们有

A_0\sin\omega t=\frac{2A_0}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\frac{n\pi}{l}x\sin\omega t

非齐次稳定问题

/Example/

定解问题
$\begin{aligned} &\nabla^2u=f(x,y)\\\\ &u|_{x=0}=u|_{x=a}=0\\\\ &u|_{y=0}=u|_{y=b}=0 \end{aligned}$
我们直接用两套本征函数展开，
$\begin{aligned} &u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty c_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y\\\\ &f(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty d_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y \end{aligned}$
其中，
$d_{nm}=\frac{4}{ab}\int_0^b\int_0^af(x,y)\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y\text{d}x\text{d}y$
而代入方程，比较系数，得到的是
$c_{nm}=-\frac{d_{nm}}{\displaystyle{\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2}}$
完全展开这种方法仅仅适用于「边界条件均齐次、方程非齐次的稳定性 (不含时) 问题」.
而且另外一个缺点是， $c_{nm}$ 的分母不能为零：这在什么情况下能够出现呢？当边界条件是第二类边界条件时， $\lambda=0$ 也是本征值，这时候就没办法用这个条件.

非齐次边界条件的齐次化

以波动方程的定解为例，

\begin{aligned} &\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\\\\ &u|_{x=0}=\mu(t)\,,\quad u|_{x=l}=\nu(t)\\\\ &u|_{t=0}=0\,,\quad\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0 \end{aligned}

考虑 $u=v+w$ ，其中 $v$ 只需要满足非齐次的边界条件. 之后方程变得非齐次，边界条件齐次化.

找 $v$ 时，可以插值，找很多不同的解，比如一次函数型的，

v=\frac{\mu(t)}{l}(l-x)+\frac{\nu(t)}{l}x

或者二次函数型的，

v=\frac{\mu(t)}{l^2}(l-x)^2+\frac{\nu(t)}{l^2}x^2

当然我们在做柱面的这类问题时有一些选取 $v$ 的法则，以便于我们之后能够解出非齐次的方程.

/Example/

定解问题
$\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\\\\ &u|_{x=0}=A\sin\omega t\,,\quad u|_{x=l}=0\\\\ &u|_{t=0}=0 \end{aligned}$
取
$v=A\left(1-\frac{x}{l}\right)\sin\omega t$
剩下就是解 $w$ .

一个特殊的方法是，方程和边界条件同时齐次化，我们要求 $v=f(x)\sin\omega t$ ，于是

f''(x)+\left(\frac{\omega}{a}\right)^2f(x)=0\,,\quad f(0)=0\,,\quad f'(l)=A

得到

v(x,t)=\frac{Aa}{\omega}\frac{1}{\cos(\omega l/a)}\sin\frac{\omega}{a}x\sin\omega t

/Example/

下面的三维问题，请齐次化边界条件
$\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\right]=0\\\\ &u|_{x=0}=\mu(y)\,,\quad u|_{x=a}=\nu(y)\\\\ &\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0}=\alpha(x)\,,\quad\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=b}=\beta(x)\\\\ &u|_{t=0}=\phi(x,y) \end{aligned}$
因为空间上的边界不含时，我们还是能够做到同时齐次化 (仅仅对空间来进行).