--- url: /equation-m-p/lesson-1/index.md --- 可以说是本科数学里面最无聊最枯燥的一门课. 相对于数学系的偏微分方程，这门课不考虑方程是不是「有解」，而是直接上手解方程，没有什么思路. 计分：期中可能有小测 ($5%$)，如果没有就和平时成绩算在一起为 $20%$，最后期末考试占 $80%$. ## 模型的建立：方程与定解条件 ### 物理中的数理方程 重点在于记结论. 问题的来源： * 静电势满足 Laplace 方程或者 Poisson 方程 > $$ > \nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon\_0},,\quad\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon\_0} > $$ * 波动方程 * 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 * 描写电磁场运动变化的 Maxwell 方程组 * 作为微观物质运动基本规律的 Schrödinger 方程和 Dirac 方程 * 连续介质力学中的 Navier–Stockes 方程组和 Euler 方程组 * 弹性力学中的 Saint-Venant 方程组 这些 **大多数** 是二阶线性偏微分方程 (组). 下面导出一些方程. #### 弦的横振动方程 先假定力只能沿切线方向 (完全柔软，无剪切力)，且弦均匀，做小的横振动. ::: danger 「小振动」并不意味着振幅小，它的概念我们之后会仔细辨析. ::: 取弦的平衡位置是 $x$ 轴，两端在 $x=0$ 和 $x=l$. 偏离平衡位置的大小为 $u$. ::: tip 这个变量用 $u$，数理方程中我们所有的变量都会用 $u$，这只是一个传统. ::: 对于原长在 $x\to x+\text{d}x$ 的小线元，质量为 $\rho\text{d}x$，$x$ 和 $u$ 方向的受力方程分别是 $$ \begin{aligned} (T\cos\theta)*{x+\text{d}x}-(T\cos\theta)*x&=0\\ (T\sin\theta)*{x+\text{d}x}-(T\sin\theta)*x&=\rho\text{d}x\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2} \end{aligned} $$ 现在要用小振动近似. 我们之前没说什么是小振动，就是因为在这里我们想让什么东西小就可以让什么东西小. 我们要求小振动的条件是： $$ \tan\theta=\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|\ll1 $$ 所以 $\sin\theta\approx\tan\theta$，$\cos\theta\approx1$. 第一个方程立即得到 $T(x)=T(x+\text{d}x)$，当然我们从来没有说过 $T$ 也是一个关于时间的常数. 方程化为 $$ T\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|*{x+\text{d}x}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|*{x}\right)=\rho\text{d}x\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2} $$ 也就是 $$ \rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-T\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0\Longrightarrow\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0 $$ 后面的是一个普遍的形式. 证明 $T$ 与时间无关： > 线元的伸长为 > $$ > \text{d}s-\text{d}x=\left\[\sqrt{1+\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2}-1\right]\text{d}x=O\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right) > $$ > 忽略二阶的话这就是零，既然弦不伸长那么也不会有张力的变化. 如果弦在横向还另外受到一个外力，则最后方程只是多一项： $$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x),,\quad f(x)=\frac{F(x)}{\rho} $$ 现在变成了一个线性非齐次的二阶方程. > 什么是「线性」？ > > > 把 $u$ 换成 $\lambda u$，能够在每一个未知项里面提出来一个 $\lambda$ 的就是线性的. > > > > 线性一定有叠加原理，可以把 $u$ 换成两个特解的线性叠加 $c\_1u\_1+c\_2u\_2$. > > 什么是「齐次」？ > > > 未知项的次数都是同样次数的，每一项都有未知量的同样次数. #### 杆的纵振动 我们做非常简化的条件，不考虑横向的应力，只考虑沿着杆的受力和伸缩. 有 Hooke 定律： $$ P=E\cdot\frac{\Delta l}{l\_0} $$ 对原长在 $x\to x+\text{d}x$ 的一段， $$ \rho S\text{d}x\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\[P(x+\text{d}x,t)-P(x,t)]S $$ 要弄清的问题是：什么是形变？ > 实际上 $u$ 只是一段质元移动的位移，形变来源于 $\text{d}u$，所以 > $$ > P=E\frac{\partial u}{\partial x} > $$ 得到方程是 $$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,,\quad a=\sqrt{\frac{E}{\rho}} $$ 这个方程和上面那一个一模一样，这些统称为波动方程. 一般的波动方程是 $$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\nabla^2u=0 $$ #### 热传导方程 会用到两个热学的定律： * 能量守恒 * 热传导的 Fourier 定律： 单位时间通过垂直 $x$ 方向的单位面积的热量 $q$ 与温度的空间变化率成正比， $$ q=-k\frac{\partial u}{\partial x} $$ $q$ 是热流密度，$k$ 是导热率，这个负号表征热量从高温向低温传递. 我们假定 $k$ 和温度无关 (这是在温度变化范围不大的情况下合理的近似)，另外这个方程是稳态的定律，$u$ 场应该要已经建立好、不随时间变化. 三维下方程写成 $$ \vec{q}=-k\nabla u $$ 我们建立的模型是一个 $\Delta x\Delta y\Delta z$ 的物块，从六个表面导热： $$ \begin{aligned} x\text{ - axis}:&\[(q\_x)*x-(q\_x)*{x+\text{d}x}]\Delta y\Delta z\Delta t\\\\ &=\left\[\left(k\frac{\partial u}{\partial x}\right)\_{x+\text{d}x}-\left(k\frac{\partial u}{\partial x}\right)\_x\right]\Delta y\Delta z\Delta t\\\\ &=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t \end{aligned} $$ 其他方向可以类比，总热量流入为 $$ (k\nabla^2u)\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t $$ 比热容为 $c$，密度为 $\rho$，得到 $$ \frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\nabla^2u=0,,\quad\kappa=\frac{k}{\rho c} $$ $\kappa$ 称为扩散率. 如果介质自己内部有热量产生，则 RHS 加一项： $$ \frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\nabla^2u=\frac{1}{\rho c}F(x,y,z,t) $$ 扩散方程和热传导方程是同样的形式. ::: warning 形如热传导方程的这种称为抛物型方程. ::: ### 稳定问题 比如温度稳定， $$ \nabla u^2=-\frac{f}{\kappa},,\quad f=\frac{F}{\rho c} $$ 静电场是 Gauss 方程 (Poisson 方程)， $$ \nabla^2 u=-\frac{\rho}{\varepsilon\_0} $$ 对于波动方程，如果 $u$ 随时间周期变化，满足 $u=ve^{-\text{i}\omega t}$，则得到 Helmholtz 方程： $$ \nabla^2v+k^2v=0 $$ #### 总结 我们得到了不同的三类方程： | 方程 | 物理过程 (分类) | 数学分类 | | :--------------------------------------------: | :-------------: | :------: | | 波动方程 | 波动 | 双曲型 | | 热传导方程 | 扩散 | 抛物型 | | Poisson 方程Laplace 方程Helmholtz 方程 | 稳恒 | 椭圆型 | ### 边界条件和初始条件 偏微分方程解出的「待定系数」是一个不确定的函数，如果没有 **定解条件** 就完全没办法得到解. 为了完全描述一个具有确定解的物理问题，在数学上需要边界条件和初始条件. ::: tip lys 在课堂上装自己的电子笔装了 5 min，原因是电池装反了. 但是问题是为什么之前是反的也能用呢？ 而且他发现问题的起因是想要告诉大家 $\varphi$ 和 $\phi$ 不一样. ::: #### 边界条件 边界条件应该完全描写边界上各点在任一时刻的状况. 即使方程和边界条件可能出现一些矛盾，还是要以边界条件为准，因为边界是非常重要的. 比如弦的横振动，两侧固定，则边界条件是两侧的 $u$ 恒为零： $$ u|*{x=0}=u|*{x=l}=0 $$ (这是零阶的边界 - 第一类边界条件) 杆的纵振动，边界的那一小块 $\varepsilon\to0$，我们认为这一段没有长度、没有质量，所以也不能有加速度，这一端是自由的，则 $$ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|\_{x=l}=0 $$ (这是一阶导数形式的边界 - 第二类边界条件) 如果边界上是一个弹簧，那么边界条件是 $$ \left\[\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{k}{E}u\right]\_{x=l}=\frac{k}{E}u\_0 $$ (这是零阶和一阶结合的边界 - 第三类边界条件) 对于热传导，有时边界温度已知： $$ u|*\Sigma=\phi(\Sigma,t) $$ 也有时是边界上的热流已知： $$ \left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|*\Sigma=\frac{1}{k}\psi(\Sigma,t) $$ 这里的对 $n$ 求偏导指的是在法线方向求导，也就是 $\hat{n}\cdot(\nabla u)$. 上面都是三类边界条件，但是我们还可能遇到无界的问题. 无界空间的边界条件给出未知函数在无穷远处的极限行为，要求很熟乃至它的导数在无穷远处有界. 边界条件和初始条件的区别： > 初始条件都是卡在自变量的同一个位置，比如规定 $t=0$ 时刻的 $u$ 和 $\dot{u}$；或者 $x=l$ 位置的 $u$ 和 $u'$. > > 边界条件则是在自变量不同地方的条件，也不会给出一个 $u$ 的各阶导数. > > 以齐次初始条件 $y'|*{x=0}=y|*{x=0}=0$ 定解，方程只有零解；以齐次边界条件 $y|*{x=0}=y|*{x=\pi}=0$ 定解，方程有非零解 $y=C\sin x$，齐次边界条件能够给出非零解. > > 也就是说，只有边界条件才会出现本征值问题，产生多解. #### 连接条件 如果问题有多种介质构成，在介质之间会产生内部的「边界」，比如电场穿过两个不同介质，这个界面上要增加连接条件. ### 定解问题的适定性 这是数学系的偏微分方程课最重视的问题. 偏微分方程 + 定解条件 = 定解问题. 适定性分为： * 解的存在性：要有解； * 解的唯一性：定解问题的解是唯一的； * 解的稳定性：定解问题中的已知条件有微小改变，解也只有微小改变. /Example/ (一个不适定的例子) > 这个问题是测量河流中的污染物，边界是岸上没有污染，初始位置没污染. > $$ > \left{\begin{array}{ll} > \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0&0\0\\\\ > u|*{y=0}=u|*{y=l}=0\&x\geq0\\\\ > u|*{x=0}=\frac{\partial u}{\partial x}|*{x=0}=0&0\leq y\leq l > \end{array}\right. > $$ > 这个解就是 $u=0$ (很好理解，上游没有污染物，下面肯定一直没有). > > 但是我现在做一个扰动，要求 > $$ > u|\_{x=0}=\frac{l}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{l}y\right) > $$ > 扰动后变为 > $$ > u=\frac{l}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi}{l}y\right)\textcolor{red}{\cosh\left(\frac{n\pi}{l}x\right)} > $$ > 下游出现无限大的污染. > > 为了定解，应该要在下游测定一个污染值，这样就把初始条件变成了边界条件，这个椭圆型方程即定解. ## 线性偏微分方程的通解 ### 常微分方程 至少要会解常微分方程. * 常系数方程 $$ y''+by'+cy=0 $$ 之类. 可以利用算符，定义 $$ D=\frac{\text{d}}{\text{d}x} $$ 得到关于 $D$ 的多项式乘上 $y$，比如 $$ (D+\alpha\_1)(D+\alpha\_2)y=0 $$ 最终的解是 $y=e^{-\alpha\_1},e^{-\alpha\_2}$. * Euler 方程 $$ x^2y''+bxy'+cy=0 $$ 令 $x=e^{t}$，则之前的 $D$ 和 $x$ 结合，有 $$ D'=\frac{\text{d}}{\text{d}t},,\quad xD=D',,\quad x^2D^2=D'(D'-1),,\cdots $$ * 线性齐次方程可以用特解叠加得到通解. * 常系数非齐次方程，可以用常数变易法找一个特解. 比如 $$ y''+by'+cy=f $$ 通解是 $C\_1y\_1+C\_2y\_2$，求一阶导 $$ C\_1y\_1'+C\_2y\_2'+C\_1'y\_1+C\_2'y\_2 $$ 因为只要找特解，所以可以强行要求后面两项和为零，有 $$ \begin{cases} C\_1'y\_1+C\_2'y\_2=0\\\\ C\_1'y\_1'+C\_2'y\_2'=f \end{cases} $$ 定出函数系数.