上节课我们说了静电唯一性定理，静电唯一性定理需要什么条件？

两类边界条件：

• 边界上的电势；
• 边界上电势的法向导数 / 边界上电场的法向分量.

如果对于导体边界，我们也有两种边界条件：

• 导体上的电势 (导体等势)；
• 导体上的电荷分布 (导体的法向电场).

Laplace 方程与分离变量法

在空间中存在电荷的时候，我们得到的是 Poisson 方程而不是 Laplace 方程：

$$\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}$$

为了应用 Laplace 方程和分离变量法，我们要把这个方程化为 Laplace 方程. 考虑将电势分为两个部分，$\varphi=\varphi'+\varphi_a$，其中 $\varphi_a$ 是一个 Poisson 方程的特解 (不一定满足边界条件)，于是关于 $\varphi'$ 的方程变成 Laplace 方程、边界条件是 $\varphi_a$ 去掉后的边界条件.

提示

其实就是数理方程里面讲到的「非齐次稳定方程化为齐次方程」的方法.

一般我们研究的问题，边界都是人为可控制的，所以能够保证齐次.

我们以球坐标系为主要的研究对象，通解为

$$\begin{aligned} &\varphi(r,\theta,\phi)= \\\\ & \sum_{n,m}\left(A_{nm}r^n+\frac{B_{nm}}{r^{n+1}}\right)P_n^m(\cos\theta)\cos(m\phi)+\sum_{n,m}\left(C_{nm}r^n+\frac{D_{nm}}{r^{n+1}}\right)P_n^m(\cos\theta)\sin(m\phi) \end{aligned}$$

如果电荷分布绕着 $z$ 轴球对称，那么函数将和 $\phi$ 无关，磁量子数 $m=0$. 这时我们的解变成了

$$\varphi(r,\theta)=\sum_{n=0}\left(A_nr^n+\frac{B_n}{r^{n+1}}\right)P_n(\cos\theta)$$

Legendre 函数的前面几个需要记住：

$$\begin{aligned} &n=0\quad P_0=1\\\\ &n=1\quad P_1=\cos\theta\\\\ &n=2\quad P_2=\frac{1}{2}(3\cos^2\theta-1)\\\\ &n=3\quad P_3=\frac{1}{2}(5\cos^3\theta-3\cos\theta) \end{aligned}$$

它们是正交的，归一性可以用修改待定系数的方式达到.

/Example/

一个介电常数 $\varepsilon$ 的均匀线性介质球放入均匀外场 $\vec{E}_0$ 中，球外为真空，求电势分布.

---

具有轴对称性，外场电势为 $\varphi_0 = -\vec{E}\cdot\vec{z}$.

解为

$$\begin{aligned} \varphi_1&=-E_0r\cos\theta +\frac{\varepsilon-\varepsilon_0}{2\varepsilon_0+\varepsilon}R^3E_0\frac{1}{r^2}\cos\theta & r\geq R\\\\ \varphi_2&=-\frac{3\varepsilon_0}{2\varepsilon_0+\varepsilon}E_0r\cos\theta &r<R \end{aligned}$$

在外场体现为一个偶极势叠加一个均匀场，内场体现为一个均匀场.

介质球的偶极矩：

$$\vec{p}=\frac{4}{3}\pi R^3\vec{P}=\frac{\varepsilon-\varepsilon_0}{2\varepsilon_0+\varepsilon}\cdot4\pi\varepsilon_0R^3\vec{E}_0$$

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2025/10/14 05:24

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• 0deb3-feat(note): add ed note于 2025/10/14

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