外观
Lesson 17 光子气体
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2026-04-29
Bose - Einstein 凝聚
以液 4He 为例. 这是一种 boson,相变温度在 2.17 K 左右,在 T>Tc 时为正常液体 HeI,相变之后变为超流体 HeII. 超流态有很多独特的性质,比如喷泉效应和量子化的涡旋.
二流体模型:认为超流体是正常液体和超流体的混合,总的密度为 ρ=ρn+ρs.
λ 相变 (超流相变) 和 BEC 是类似的,但是并不相同,BEC 的峰值只有有限高,而液 He 的峰值无限高;同时,临界温度的数值不同,BEC 模型在液氦上给出的临界温度是 3.13 K.
光子气体
对于 T,V 给定的系统,光子有
ε=hν,p=chν,ε=pc
光子之间并没有可观的相互作用,自旋是 1,简并度为 2 (两个方向的偏振).
理想黑体定义为:能够完全吸收照射到它上面的各种波长的电磁波的物体. 一般来说在实践上是用一个内部铺满高吸收率材料的不规则空腔,空腔上开的一个小口可以视为一个足够理想的黑体. V 足够大时,准连续能级,
h3gsdωeβε−11
把态密度积分,得到频率分布
g(ν)dν=gsc34πVν2dν⟹n(ν)dν=gsc34πVeβhν−1ν2dν
而能量分布就是
U(ν)dν=n(ν)hνdν=c38πVhν3eβhν−1dν
这就是 Planck 定律.
对于低频高温极限,hν≪kBT,这时能量分布化为
U(ν)dν=c38πVkBTν2dν
这是 Rayleigh - Jeans 定律;对于高频低温极限,hν≫kBT,
U(ν)dν=c38πVhν3e−βhνdν
这是 Wien 定律.
积分能量之后得到辐射通量密度为
J=σT4,σ=15h3c22π5kB4
如果对能量分布求极值,那么可以得到 Wein 位移定律,
λmT=4.96kBhc
可以测得 Planck 常数,这种方法的测量值与现代用量子 Hall 效应等高级手段测量得到的数值相差仅仅 4%.
热力学上,光子气体的巨配分函数为
lnΞ(β,V)=−∫0∞g(ε)dε⋅ln(1−e−βε)=3(hc)3β38πV∫0∞ex−1x3dx
后面的积分是可以严格得到的,最终结果为
lnΞ(β,V)=45(hc)3β38π5V
更新日志
2026/4/29 03:28
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