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Lesson 16 习题课

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2026-04-17

第七次作业

配分函数

  • 离散的能量：Z=∑igie−βεiZ=\displaystyle{\sum_ig_ie^{-\beta\varepsilon_i}} (直接相加)
  • 准连续 (比如理想气体)：Z=1h3∫e−βε(x⃗,p⃗)d3x⃗d3p⃗Z=\displaystyle{\frac{1}{h^3}\int e^{-\beta\varepsilon(\vec{x},\vec{p})}\text{d}^3\vec{x}\text{d}^3\vec{p}} (相空间体积积分)

由配分函数得到物理量，

E=∑iεigie−βεi=−∂ln⁡Z∂βS=−kB∑ipiln⁡pi=kB(ln⁡Z−β∂ln⁡Z∂β),pi=e−βεiZF=E−TS=−kBTln⁡Z\begin{aligned} &E = \sum_i\varepsilon_ig_ie^{-\beta\varepsilon_i}=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} \\\\ &S = -k_B\sum_ip_i\ln p_i = k_B\left(\ln Z-\beta\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}\right),\quad p_i=\frac{e^{-\beta\varepsilon_i}}{Z}\\\\ &F = E-TS = -k_BT\ln Z \end{aligned}

一般来说，记 FF 和 EE 更方便一点. (对气体来说) 等容热容和力学量：

CV=(∂E∂T)V=kBβ∂2ln⁡Z∂β2p=1β(∂ln⁡Z∂V)T\begin{aligned} &C_V = \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V = k_B\beta\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}\\\\ &p = \frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial\ln Z}{\partial V}\right)_T \end{aligned}

化学势为

μ=−1β(∂ln⁡Z∂N)T,V\mu = -\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial\ln Z}{\partial N}\right)_{T,V}

/Problem/ (7.20)

求 Einstein 固体熵.

需要了解的量子力学内容：

  • 振子能级 εn=(n+12)ℏω\varepsilon_n=\displaystyle{\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega}

  • 自旋 (j)(j) 粒子的磁量子数 mj=−j,−j+1,⋯ ,j−1,jm_j=-j,-j+1,\cdots,j-1,j (共 2j+12j+1 个)，磁矩

    μ=gμB,μz=mjμz0\mu=g\mu_B,\quad \mu_z=m_j\mu_{z0}

对于这个题目，配分函数是

Z(β)=∑i=0∞e−β(i+1/2)ℏω=e−βℏω/21−e−βℏωZ(\beta) =\sum_{i=0}^\infty e^{-\beta(i+1/2)\hbar\omega} = \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}

一般认为有 3N3N 个振子自由度，所以 Ztot=Z3NZ_{\text{tot}}=Z^{3N}，熵为

S=3NkB[−ln⁡(1−e−βℏω)+βℏωe−βℏω1−e−βℏω]S = 3Nk_B\left[-\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})+\frac{\beta\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\right]

/Problem/ (7.22)

以 nn 表示晶体中原子的密度，设原子的总角动量量子数为 11，磁矩为 μ\mu, 在外磁场 BB 下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场. 假设磁矩之间的相互作用可以忽略，试求在温度为 TT 时晶体的磁化强度 MM，以及 MM 在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值.

自旋为 j=1j=1，能量是离散的，只有三个能级，得到配分函数

Z=e−βμB+1+eβμBZ = e^{-\beta\mu B}+1+e^{\beta\mu B}

磁矩就是单位体积内磁矩的均值，

M=nZ[μe−β(−μB)+0+(−μ)e−β(μB)]M = \frac{n}{Z}\left[\mu e^{-\beta(-\mu B)}+0+(-\mu)e^{-\beta(\mu B)}\right]

提示

另一种算法是，用配分函数求广义力，

M=nβ(∂ln⁡Z∂B)T=2nμsinh⁡(βμB)1+2cosh⁡(βμB)M = \frac{n}{\beta}\left(\frac{\partial\ln Z}{\partial B}\right)_T = \frac{2n\mu\sinh(\beta\mu B)}{1+2\cosh(\beta\mu B)}

得到的结果是一样的.

然后相应地做两个近似.

/Problem/「补充」1

顺磁固体 Gd2(SO4)3(H2O)8\text{Gd}_2 (\text{SO}_4)_3 (\text{H}_2\text{O})_8 的顺磁性来自 Gd3+\text{Gd}^{3+} 离子. Gd3+\text{Gd}^{3+} 离子基态的谱项为 8S7/2(L=0,J=S=7/2)^8S_{7/2}(L=0,J=S=7/2)，试求在高温和低温极限下 Gd2(SO4)3(H2O)8\text{Gd}_2(\text{SO}_4)_3 (\text{H}_2\text{O})_8 的磁化率.

算 Lande 因子

g=1+J^2+S^2−L^22J^2=1+J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)2J(J+1)=2g = 1+\frac{\hat{J}^2+\hat{S}^2-\hat{L}^2}{2\hat{J}^2} = 1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)} = 2

因此，磁量子数为 −7/2,−5/2,⋯ ,5/2,7/2-7/2,-5/2,\cdots,5/2,7/2. 能级为 Em=mgμBBE_m = mg\mu_B B，配分函数：

Z=∑me−βmgμBB=sinh⁡(4βgμBB)sinh⁡(βgμBB/2)Z = \sum_me^{-\beta mg\mu_B B} = \frac{\sinh(4\beta g\mu_BB)}{\sinh(\beta g\mu_BB/2)}

仍然是求磁化强度，

M=Nβ(∂ln⁡Z∂B)=NgμB[4coth⁡(4βgμBB)+12coth⁡(12βgμBB)]M = \frac{N}{\beta}\left(\frac{\partial\ln Z}{\partial B}\right) = Ng\mu_B\left[4\coth(4\beta g\mu_BB)+\frac{1}{2}\coth\left(\frac{1}{2}\beta g\mu_BB\right) \right]

磁化率是 (∂M/∂B)(\partial M/\partial B).

第六次作业

Maxwell 分布律

对于理想气体，

Z=1h3∫e−p2/2mkBTd3x⃗d3p⃗=Vh3∫0∞4πp2e−p2/2mkBTdpZ = \frac{1}{h^3}\int e^{-p^2/2mk_BT}\text{d}^3\vec{x}\text{d}^3\vec{p} = \frac{V}{h^3}\int_0^\infty4\pi p^2e^{-p^2/2mk_BT}\text{d}p

单方向速度分布是

f(vi)=(m2πkBT)1/2e−mvi2/2kBTf(v_i) = \left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{1/2}e^{-mv_i^2/2k_BT}

速率分布是

f(v)=4πv2(m2πkBT)3/2e−mv2/2kBTf(v) = 4\pi v^2\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-mv^2/2k_BT}

对于其他维度，速度分布律仍然是单方向速度分布的乘积，速率分布前面的系数是 n−1n-1 维体积.

/Problem/ 7.11

表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出在二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率 v‾\overline{v}、最概然速率 vmv_m 和方均根速率 vsv_s.

对于二维分布，把速率分布的 4πv24\pi v^2 变为一维的「体积」即可，也就是 2πv2\pi v.

/Problem/ 7.17

气柱的高度为 HH，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为

U=U0+NkBT−NmgHexp⁡(mgHkBT)−1, CV=CV0+NkB−N(mgH)2exp⁡(mgHkBT)kBT2[exp⁡(mgHkBT)−1]2U = U_0+Nk_BT-\frac{NmgH}{\exp\left(\frac{mgH}{k_BT}\right)-1},\, C_V = C_V^0+Nk_B-\frac{N(mgH)^2\exp\left(\frac{mgH}{k_BT}\right)}{k_BT^2\left[\exp\left(\frac{mgH}{k_BT}\right)-1\right]^2}

在重力场中，ε=mv2/2+mgh\varepsilon=mv^2/2+mgh，分开计算势能和动能部分的配分函数积分，

Z=1h3∫e−βmv2/2d3p∫e−βmghd3xZ = \frac{1}{h^3}\int e^{-\beta mv^2/2}\text{d}^3p\int e^{-\beta mgh}\text{d}^3x

可以得到一个重力场中理想气体的配分函数. 直接利用公式就获得答案.

第五次作业

相对论性和非相对论性的能动关系：

E=pc,E=p22mE = pc,\quad E =\frac{p^2}{2m}

态密度的计算方法是

D(ε)dε=Vhn∫⋯∫n−1dnp⃗D(\varepsilon)\text{d}\varepsilon =\frac{V}{h^n}\underset{n-1}{\int\cdots\int}\text{d}^n\vec{p}

代入不同的维度和是否相对论性即可.

第四次作业

根据粒子的自旋，对下列粒子进行分类，即判断它们是玻色子还是费米子：

12C^{12}\text{C} 原子；13C^{13}\text{C} 原子；H2\text{H}_2 分子；H−\text{H}^- 离子；3He^3\text{He} 原子；4He^4\text{He} 原子；α\alpha 粒子；正电子；6Li−^6\text{Li}^- 离子.

因为质子、电子和中子自旋都是 1/21/2，所以只要看这三个粒子数加起来是不是奇数即可，如果是奇数就是 fermion，反之为 boson.

第三次作业

相变

气液相变的热容存在突变，所以我们说这是一个一级相变；铁磁相变是从无磁场到有磁场的突变，为二级相变.

常用的几个偏导数关系：

(∂x∂y)z(∂z∂x)y(∂y∂z)x=−1\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x =-1

(∂x∂z)y=(∂x∂z)w+(∂x∂w)z(∂w∂z)y\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)_y=\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)_w+\left(\frac{\partial x}{\partial w}\right)_z\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)_y

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2026/4/20 17:50
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