期末考试 $95\%$ 的内容：

• 全同粒子：fermion 和 boson 的无相互作用体系，波函数满足交换反对称和对称性；自由电子气和能带；变分法中全同粒子的相关内容.
• 氢原子：不考波函数，但是考很多重要概念 —— 角动量耦合 (CG 系数，考试会给出，但是会有冗余信息).
• 微扰论：Hamiltonian 有一个修正 $H'$，但是本身的 Hamiltonian 会是一个比较好解的 $H_0$. 微扰论中包括一阶微扰、简并微扰和含时微扰，要记住的是简并微扰和一阶微扰分别是计算什么东西的，这是要记忆的.
• 变分法：单参数的变分法.

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瞄准距离 $b$.

一个入门的例子是硬球的散射，半径 $R$；散射粒子的大小忽略不计.

微分散射截面的定义：

$$\text{d}\sigma = D(\theta)\text{d}\Omega\Longrightarrow D(\theta)=\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{\text{d}b}{\text{d}\theta}\right|$$

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散射的波函数

$$\psi(r,\theta)\approx A\left(e^{\text{i}kz}+f(\theta)\frac{e^{\text{i}kr}}{r}\right)$$

必须满足这个形式.

• 和 $\phi$ 无关，因为中心力场的对称性；
• 有透射和反射；
• $f(\theta)$ 称为散射振幅.

类似 Binet 方程，

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2u}{\text{d}r^2}+\left[V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\right]u=Eu$$

对于硬球势，波函数可以被展开为球 Bessel 函数的求和.

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2026/1/2 08:13

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