变分法来源于能量是波函数的泛函：

$$\delta\varepsilon=\langle\psi|H|\psi\rangle$$

能量的近似值就是泛函的极值.

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今天讲一个应用场景. 接着上面变分法的做法，我们可以对波函数在某一组基下展开，展开的系数实际上就是变分参数，展开的阶数越高，最后的结论越准确.

对于一个双电子原子，其 Hamiltonian 为

$$H = -\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla_1^2+\nabla_2^2)-\frac{2e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}$$

考虑视为独立体系，最后一项作为微扰项引入.

很明显这并不是「微扰」，但是对于复杂的问题只能这样处理.

更进一步地处理是平均场近似，把另一个电子的作用平均掉. 或者用变分法，

$$\langle V\rangle = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{8}{\pi a^3}\right)^2\int\frac{e^{-4(r_1+r_2)/a}}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}\text{d}^3\vec{r}_1\text{d}^3r_2$$

这个积分的处理是数理方法中的内容，

$$\frac{1}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}\propto\sum_m\left(\frac{r_<}{r_>}\right)^l\cdot\frac{1}{r_>}(-1)^lY_{lm}(\hat{r}_1)Y_{lm}^*(\hat{r}_2)$$

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谐振子基态：

$$\psi_{00}(x,y,z)\propto\exp\left(-\frac{x^2+y^2}{4l^2I}-\frac{z^2}{4l_z^2}\right)$$

对于 Bose-Einstein 凝聚体，其整体波函数是 $\psi_{00}^{(1)}\psi_{00}^{(2)}\cdots$. 但是这是没有相互作用的结果，有相互作用时，波函数呈现 Gauss 型还是其他形状？变宽还是变窄？

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2025/12/22 15:09

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• 0a877-feat(note): add note于 2025/12/22

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