微扰论的方程：

$$\dot{c}_a(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ab}(t)e^{-\text{i}\omega_0t}c_b(t),\quad \dot{c}_b(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ba}(t)e^{+\text{i}\omega_0t}c_a(t)$$

这实际上是一种半经典的近似，因为对于量子态的描写是量子的，但是对于外界作用的描写使用 Hamiltonian，这是经典的描述.

假设驱动是共振的，$\omega_L=\omega_0$，$H'_{ab}\propto\cos(\omega_Lt)$. 这时候可以把 $\dot{c}_a(t)$ 写为

$$\dot{c}_a(t)\equiv\text{i}\frac{\Omega}{2}c_b(t)$$

($\Omega$ 称为 Rabi 频率.) 同理，

$$\dot{c}_b(t) = -\text{i}\frac{\Omega}{2}c_a(t)$$

当 $\omega_L-\omega_0\neq0$，出现失谐，

$$\dot{c}_a(t)=\text{i}\frac{\Omega}{2}c_b(t)e^{\text{i}(\omega_L-\omega_0)t},\quad \dot{c}_b(t)=-\text{i}\frac{\Omega}{2}c_a(t)e^{-\text{i}(\omega_L-\omega_0)t}$$

在完全共振时的解是

$$\begin{aligned} &c_a(t) = c_a(0)\cos\frac{|\Omega|t}{2}+\text{i}c_b(0)\sin\frac{|\Omega|t}{2}\\\\ &c_b(t) = c_b(0)\cos\frac{|\Omega|t}{2}-\text{i}c_a(0)\sin\frac{|\Omega|t}{2} \end{aligned}$$

表现为一种旋转.

---

变分法：将任意一个波函数按照正交完备基展开，

$$\psi=\sum_nc_n\psi_n$$

则 Hamiltonian 的期望值

$$\langle H\rangle = \left\langle\sum_nc_n\psi_n\right|H\left|\sum_nc_n\psi_n\right\rangle = \sum_n\langle\psi_n|H|\psi_n\rangle$$

变分考虑的是一个波函数的变化 $\psi+\delta\psi$，

$$\langle\psi+\delta\psi|H|\psi+\delta\psi\rangle - \langle\psi|H|\psi\rangle$$

如果变化不造成 Hamiltonian 期望值的变化，那么这就处于一个稳定值. 另外，$\psi+\delta\psi$ 必须要是归一的，这里可以通过 $\delta\psi$ 与 $\psi$ 正交来实现.

/Example/

对于一个 $\delta$ 形式的势能：

$$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}-\alpha\delta(x)$$

用一个 Gauss 型的波函数作为试探波函数：

$$\psi(x)=Ae^{-bx^2}$$

积分得到

$$\langle H\rangle = \frac{\hbar^2b}{2m}-\alpha\sqrt{\frac{2b}{\pi}}$$

对 $b$ 这个参数求导，

$$\frac{\text{d}\langle H\rangle}{\text{d}b} = \frac{\hbar^2}{2m}-\alpha\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\pi}}b^{-1/2}=0$$

解得取极值时，$b = \displaystyle{\frac{2m^2\alpha^2}{\pi\hbar^4}}$. 这时候最小的 Hamiltonian 期望值为

$$\langle H\rangle_{\min} = -\frac{m\alpha^2}{\pi\hbar^2}$$

对比准确结果 $E=\displaystyle{-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}}$，表现出这已经是一个比较精确的近似.

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2025/12/17 18:12

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• 6de2b-feat(note): add note于 2025/12/17

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