这时候的 Hamiltonian 是 $H(t)=H_0+H'(t)$. 我们只做比较简单的问题，考虑一个二能级系统的含时微扰问题. 总的波函数是

$$\Psi(t)=c_a(t)\psi_ae^{-\text{i}E_at/\hbar}+c_b(t)\psi_be^{-\text{i}E_bt/\hbar}$$

(类似于常数变易法.) 代入 Schrödinger 方程，得到

$$\begin{aligned} &\dot{c}_a(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}(H'_{aa}c_a+H'_{ab}e^{\text{i}(E_a-E_b)t/\hbar}c_b)\\\\ &\dot{c}_b(t)=-\frac{\text{i}}{\hbar}(H'_{bb}c_b+H'_{ba}e^{-\text{i}(E_a-E_b)t/\hbar}c_a) \end{aligned}$$

令 $\omega \equiv (E_b-E_a)/\hbar$. 对于大多数物理上有价值的问题，对角元都是零，所以方程化为

$$\begin{aligned} &\dot{c}_a = -\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ab}e^{-\text{i}\omega t}c_b\\\\ &\dot{c}_b = -\frac{\text{i}}{\hbar}H'_{ba}e^{\text{i}\omega t}c_a \end{aligned}$$

因为是微扰，所以解法是用展开的方式：我们知道 $c_a^{(0)}=1$，$c_b^{(0)}=0$ (最低阶情况下就在 $a$ 能级上)，然后 $c_b^{(1)}$ 由 $c_a^{(0)}$ 给出、$c_a^{(1)}$ 由 $c_b^{(0)}$ 给出…… 由这里可以计算 $a\to b$ 跃迁的一个概率：

$$P_{a\to b}(t)=|c_b^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2}\left|\int_0^tH'_{ab}(t')e^{\text{i}\omega t'}\text{d}t'\right|^2$$

在 $t\to\infty$ 的长时近似下，实际上是一个 Fourier 变换，不为零的条件是 $H'_{ab}$ 中含有和 $\omega$ 共振的频率成分.

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Einstein 的辐射理论实际上基于含时微扰.

Fermi's Golden Rule：对于大量的粒子系统，

$$\Gamma_{t\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}|\langle f|H'|t\rangle|^2\rho(E_f)$$

也就是 $t$ 这个态可以跳到任意一个 $f$ 态，$t$ 态寿命由上式决定，其中 $\rho$ 是态密度. 这里并不是二能级的系统，但是所有态之间都是没有相干性的，只有 $t$ 和它们分别构成二能级系统.

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认为辐射是真空场的含时微扰，$H'=-q\vec{r}\cdot\vec{E}(t)$. 电磁场态密度是

$$\rho(\omega)=\frac{\omega^2}{\pi^2c^3}$$

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2025/12/16 13:05

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