外观
Lesson 24 含时微扰
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2025-12-15
这时候的 Hamiltonian 是 H(t)=H0+H′(t). 我们只做比较简单的问题,考虑一个二能级系统的含时微扰问题. 总的波函数是
Ψ(t)=ca(t)ψae−iEat/ℏ+cb(t)ψbe−iEbt/ℏ
(类似于常数变易法.) 代入 Schrödinger 方程,得到
c˙a(t)=−ℏi(Haa′ca+Hab′ei(Ea−Eb)t/ℏcb)c˙b(t)=−ℏi(Hbb′cb+Hba′e−i(Ea−Eb)t/ℏca)
令 ω≡(Eb−Ea)/ℏ. 对于大多数物理上有价值的问题,对角元都是零,所以方程化为
c˙a=−ℏiHab′e−iωtcbc˙b=−ℏiHba′eiωtca
因为是微扰,所以解法是用展开的方式:我们知道 ca(0)=1,cb(0)=0 (最低阶情况下就在 a 能级上),然后 cb(1) 由 ca(0) 给出、ca(1) 由 cb(0) 给出…… 由这里可以计算 a→b 跃迁的一个概率:
Pa→b(t)=∣cb(1)(t)∣2=ℏ21∫0tHab′(t′)eiωt′dt′2
在 t→∞ 的长时近似下,实际上是一个 Fourier 变换,不为零的条件是 Hab′ 中含有和 ω 共振的频率成分.
Einstein 的辐射理论实际上基于含时微扰.
Fermi's Golden Rule:对于大量的粒子系统,
Γt→f=ℏ2π∣⟨f∣H′∣t⟩∣2ρ(Ef)
也就是 t 这个态可以跳到任意一个 f 态,t 态寿命由上式决定,其中 ρ 是态密度. 这里并不是二能级的系统,但是所有态之间都是没有相干性的,只有 t 和它们分别构成二能级系统.
认为辐射是真空场的含时微扰,H′=−qr⋅E(t). 电磁场态密度是
ρ(ω)=π2c3ω2
更新日志
2025/12/16 13:05
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