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Lesson 2 波函数

约 1434 字大约 5 分钟

2025-09-17

PPT 之后才会给大家，因为还没做完 (bushi. 另外，如果难倒了老师，会有加分，欢迎大家提问.

量子力学最重要的概念来源于双缝干涉实验. 如果是一个经典粒子 (比如乒乓球)，在屏上的分布应该只是一个 Gauss 分布；但是具有波动性质的物理实体，在屏上会产生干涉，这来源于 相位.

杨先生之前做过一个报告，将相位的重要性提升到和对称性一样的高度，称它们为 21 世纪的重要物理概念.

先从波函数出发，波函数由 Schrödinger 方程来描述，

不得不说 Schrödinger 的物理直觉非常好，他的方程是「猜」出来的，但是经过后世的验证，和实验结果是吻合的. 理论的正确性，最大的因素是它是否符合实验.

波函数的模平方是概率 p=∣ψ(x,t)∣2p=|\psi(x,t)|^2，波函数由相位和振幅来确定 ψ(x,t)=A(x,t)e−iϕ(x,t)\psi(x,t)=A(x,t)e^{-\text{i}\phi(x,t)}. 在双缝实验中，我们考量的是单个粒子自己和自己的干涉，在屏上出现的概率是 ∣ψup+ψdown∣2|\psi_\text{up}+\psi_\text{down}|^2.

但是如果在电子穿过缝的时候测量到底穿过了哪一条缝，一旦知道了结果，屏幕上就看不到干涉条纹了；还有人做了很多「后测量」的实验，在穿过缝之后测量电子的轨迹，这时屏幕上也无法观测到干涉条纹. 所以在单电子实验之后，我们理解的波函数描述的是系综的性质，而非单个粒子的性质，这正是 Born 对干涉实验的解释.

因此对于任何的物体，我们都应该引入「物质波」的概念，考虑到它们物质波的干涉效果.

波动方程为

iℏ∂ψ∂t=−ℏ22m∂2ψ∂x2+Vψ\text{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V\psi

这是一个线性的方程！Newton 力学计算天体轨道，很容易出现非线性的方程.

当时老师 87 年从南京大学毕业，去美国，那时候从上海出发，在上海培训了 1 个月，那时候上海都没有路灯，送行的同学在宿舍里打地铺过一晚.

到美国的时候，大家都看英文电视 (仅仅是用来学英语)，发现那里的天气预报竟然能精确到哪一秒太阳升起. 那都是用纯粹的摄动来计算的，老师当时觉得我们国家的科技还是太落后了.

没想到后来问天文系的同学，发现其实 Newton 的力学已经给出了很精确的结果，可以很容易地计算出来.

量子力学至少在这些方面稍微比经典力学容易一点. 但是量子力学会遇到「扩散」的问题，在量子力学的世界，一个人一开始可能还是个人形，但是他的这个「波包」会慢慢地扩散掉 (？什么奇妙比喻). 不扩散的波包是所谓的「孤子」，在相对论量子力学中我们可能会接触这个概念.

下面说一点 Bohr 的测量观点：如果我探测一次粒子，它可能出现在不是概率最大的地方，波函数因为这个探测，波函数瞬间坍缩为一个宽度为测量精度、高度由归一化定出的类似 δ\delta 函数. 如果这样理解，就能在观测之后继续使用波函数对一个粒子的时间演化进行计算.

然后老师莫名其妙开始说读博的事情.

「你读了博士之后想来你清工作，门都没有.」

上面 Bohr 的理解困扰了很多民科. 如果你想认识一些民科，可以找老师介绍一些.

因为这样的性质，所以即使完全了解了一个系统，我们也无法完全预言这个系统之后某时刻的状态，只能给出一个概率的结果.

可以把波函数当做一个「场」来理解，按照 δ\delta 函数来展开：

ψ(x,t)=∫−∞∞dx′⋅ψ(x′,t)δ(x′−x)\psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty\text{d}x'\cdot\psi(x',t)\delta(x'-x)

另外，波函数的模方应该是归一化的，经典上来说

∫−∞∞∣ψ(x,t)∣2dx=1\int_{-\infty}^\infty|\psi(x,t)|^2\text{d}x=1

当然我们经常会遇到不能归一化的东西，比如一个自由粒子，它在全空间都有概率找到，但是概率都很低. 物理学家解决这个的方法是，用一个「远远大于所研究问题的尺度」的边界来归一化，这样边界效应就不明显，对问题不构成影响；或者在固体物理中，用一个周期性的边界条件.

考虑粒子位置的平均值和速度的平均值：

⟨x⟩=∫x∣ψ(x,t)∣2dxd⟨x⟩dt=∫x∂∂t∣ψ∣2dx=iℏ2m∫x∂∂x(∂ψ∂xψ∗−∂ψ∗∂xψ)dx=iℏ2m∫(∂ψ∂xψ∗−∂ψ∗∂xψ)dx=−iℏm∫∂ψ∂xψ∗dx\begin{aligned} \braket{x}&=\int x|\psi(x,t)|^2\text{d}x\\\\ \frac{\text{d}\braket{x}}{\text{d}t}&=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\psi|^2\text{d}x=\frac{\text{i}\hbar}{2m}\int x\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\psi^*-\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\right)\text{d}x\\\\ &=\frac{\text{i}\hbar}{2m}\int\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\psi^*-\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\right)\text{d}x=-\frac{\text{i}\hbar}{m}\int\frac{\partial\psi}{\partial x}\psi^*\text{d}x \end{aligned}

这就是坐标表象下的速度. 在不同表象下，所有的物理量都是算符，量子力学的期望值于经典力学的物理量相互对应.

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2025/10/9 02:50
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