Lesson 15 自旋

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2025-11-12

角动量的另一个对易关系，

[L^2,\vec{L}]=0,\quad[L^2,L_i]=0

考虑新定义一个角动量升降算符，

\hat{L}_{\pm} = \hat{L}_x\pm \text{i}\hat{L}_y

计算这个算符的本征值，得到

L^2f_t = (L_-L_+L_z^2+\hbar L_z)f_t = \hbar^2l(l+1)f_t

也就是说这个本征值是 $\lambda=\hbar^2l(l+1)$ . 因此角动量的模长本征值只能是 $\hbar\sqrt{l(l+1)}$ ，对于每一个这样的角动量，都能绕着 $z$ 轴扫出一个锥面，这就是一个相干态.

实际上我们刚刚的计算中对 $l$ 是什么样的数字并没有要求，但是 $L_z=\hbar m$ 应该是分立的值，而同时有 $m=-l,-l+1,\cdots,0,\cdots,l$ . 也就是对于一个 $l$ ，有 $2l+1$ 个 $m$ 值，要求 $l=$ 半整数.

这会造成特殊的性质，也就是自旋需要转 $4\pi$ 才能够回到自身.

自旋

自旋是固有的性质，和坐标、运动没有关系. 自旋的大小只能是半整数和整数，fermion 的自旋是半整数、boson 的自旋为整数.

在二维空间中 $z$ 方向自旋的表示为

S_z=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}

自旋的升降算符

S_{\pm}=\hbar\begin{pmatrix} 0&1\text{ or }0\\0\text{ or }1&0 \end{pmatrix}

Pauli 矩阵：

\sigma_x=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix},\quad\sigma_y=\begin{pmatrix} 0&-\text{i}\\\text{i}&0 \end{pmatrix},\quad\sigma_z=\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}

2025/11/13 14:25

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