外观
Lesson 15 自旋
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2025-11-12
角动量的另一个对易关系,
[L2,L]=0,[L2,Li]=0
考虑新定义一个角动量升降算符,
L^±=L^x±iL^y
计算这个算符的本征值,得到
L2ft=(L−L+Lz2+ℏLz)ft=ℏ2l(l+1)ft
也就是说这个本征值是 λ=ℏ2l(l+1). 因此角动量的模长本征值只能是 ℏl(l+1),对于每一个这样的角动量,都能绕着 z 轴扫出一个锥面,这就是一个相干态.
实际上我们刚刚的计算中对 l 是什么样的数字并没有要求,但是 Lz=ℏm 应该是分立的值,而同时有 m=−l,−l+1,⋯,0,⋯,l. 也就是对于一个 l,有 2l+1 个 m 值,要求 l= 半整数.
这会造成特殊的性质,也就是自旋需要转 4π 才能够回到自身.
自旋
自旋是固有的性质,和坐标、运动没有关系. 自旋的大小只能是半整数和整数,fermion 的自旋是半整数、boson 的自旋为整数.
在二维空间中 z 方向自旋的表示为
Sz=2ℏ(100−1)
自旋的升降算符
S±=ℏ(00 or 11 or 00)
Pauli 矩阵:
σx=(0110),σy=(0i−i0),σz=(100−1)
更新日志
2025/11/13 14:25
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