外观
Lesson 12 高维的 Shrödinger 方程
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2025-10-29
如果某一个态是 ∣ψ⟩,那么它可以被投影到不同的表象空间. 这样的态叫做纯态. 什么是混态?
混态是纯态加上一些其他的自由度,比如一个偷偷观测这个粒子的某一个自由度.
这样我们能够写出一个更大的纯态,包含这些其他自由度.
高维的 Schroödinger 方程
三维情况下,Hamiltonian 写成
H=2mpx2+py2+pz2+Vx+Vy+Vz
比较好的情况是能够分离变量,也就是 ψ(x,y,z)=ϕx(x)ϕy(y)ϕz(z),得到三个方向上的方程,这里的 E 分为 Ex,Ey,Ez,Hamiltonian 分解为
H^i=2mxp^x2+21mxω2x2
三维的方程写成
iℏ∂t∂Ψ=[−2mℏ2∇2+V]Ψ
在球坐标下,
∇2=r21∂r∂(r2∂r∂)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+r2sin2θ1∂ϕ2∂2
像数理方程一样,分离变量. 对于方位角 ϕ 的本征方程,为
Φ1dϕ2d2Φ=−m2
得到角向的波函数是 Φ=eimϕ. 而 θ 的本征函数是 Legendre 多项式,得到
Θ(θ)=APlm(cosθ)
其中,
Pl(x)=2l⋅l!1(dxd)l(x2−1)l
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2025/10/29 17:03
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