线性代数复习

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2026-09-18

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没讲什么比较新的内容，所以半节课都在看文章...

$\R^n$ 上比较一般的范数定义是 $p$ - 范数 ( $1\leqslant p<\infty$ )，

\Vert x\Vert_p=\left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p}

对于矩阵而言，我们一般用 Frobenius 范数：

A=[a_{ij}]\in \mathbb{C}^{m\times n},\quad \Vert A\Vert_F=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}

对于 $\mathbb{C}[a,b]$ 上的函数，

\Vert f\Vert_\infty=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|,\quad \Vert f\Vert_{L^p}=\left(\int_a^b|f(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}

/Definition/ (从属) 矩阵范数

设 $\Vert\cdot\Vert$ 是 $\R^n$ 上的一个范数， $A\in \R^{n\times n}$ ，称
$\Vert A\Vert =\max_{0\neq x\in\R^n}\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}=\max_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert$
为 $\R^{n\times n}$ 上从属于向量范数 $\Vert\cdot\Vert$ 的矩阵范数.