---
url: /numerical-analysis/lesson-2-linear-algebra/index.md
---
::: danger

没讲什么比较新的内容，所以半节课都在看文章...

:::

$\R^n$ 上比较一般的范数定义是 $p$ - 范数 ($1\leqslant p<\infty$)，
$$
\Vert x\Vert\_p=\left(\sum\_{k=1}^n|x\_k|^p\right)^{1/p}
$$
对于矩阵而言，我们一般用 Frobenius 范数：
$$
A=\[a\_{ij}]\in \mathbb{C}^{m\times n},\quad \Vert A\Vert\_F=\sqrt{\sum\_{i,j}|a\_{ij}|^2}
$$
对于 $\mathbb{C}\[a,b]$ 上的函数，
$$
\Vert f\Vert\_\infty=\max\_{x\in\[a,b]}|f(x)|,\quad \Vert f\Vert\_{L^p}=\left(\int\_a^b|f(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}
$$

***

/Definition/ (从属) 矩阵范数

> 设 $\Vert\cdot\Vert$ 是 $\R^n$ 上的一个范数，$A\in \R^{n\times n}$，称
> $$
> \Vert A\Vert =\max\_{0\neq x\in\R^n}\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert}=\max\_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert
> $$
> 为 $\R^{n\times n}$ 上从属于向量范数 $\Vert\cdot\Vert$ 的**矩阵范数**.