为什么要分析计算结果？

计算机算出的仅仅只是数值解，而不是精确解. 因此不能盲目采用，需要用不同的方法来具体分析.

误差类型：

• 模型误差：例如假设地球是一个球，忽略了一些次要因素.
• 测量误差
• 截断误差：用有限代替无限，用简单代替复杂导致的误差.
• 舍入误差：计算机能表示的数都是有限位的.

前两者并不是本课程预计要讨论的内容，但是我们要讨论它们产生的影响.

/Example/

用三种迭代算法计算 $3^{-n}$ ($n=1,2,\cdots,10$)：

• $a_0=0.99996$, $a_n=a_{n-1}/3$;
• $b_0=1$, $b_1=0.33332$, $b_n=4b_{n-1}/3-b_{n-2}/3$;
• $c_0=1$, $c_1=0.33332$, $c_n=10c_{n-1}/3-c_{n-2}/3$.

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实际计算发现，后面两种有巨大的误差，给出的结果并不可靠.

a = [0.99996]
b = [1.0, 0.33332]
c = [1.0, 0.33332]

for n in range(1, 11):
    a.append(a[n - 1] / 3)

for n in range(2, 11):
    b.append(4 * b[n - 1] / 3 - b[n - 2] / 3)
    c.append(10 * c[n - 1] / 3 - c[n - 2] / 3)

print(f"{'n':>2} {'3^(-n)':>16} {'a_n':>16} {'b_n':>16} {'c_n':>16}")
for n in range(1, 11):
    print(f"{n:2d} {3.0 ** (-n):16.10e} {a[n]:16.10e} {b[n]:16.10e} {c[n]:16.10e}")

结果为：

n           3^(-n)              a_n              b_n              c_n
 1 3.3333333333e-01 3.3332000000e-01 3.3332000000e-01 3.3332000000e-01
 2 1.1111111111e-01 1.1110666667e-01 1.1109333333e-01 7.7773333333e-01
 3 3.7037037037e-02 3.7035555556e-02 3.7017777778e-02 2.4813377778e+00
 4 1.2345679012e-02 1.2345185185e-02 1.2325925926e-02 8.0118814815e+00
 5 4.1152263374e-03 4.1150617284e-03 4.0953086420e-03 2.5879159012e+01
 6 1.3717421125e-03 1.3716872428e-03 1.3517695473e-03 8.3593236214e+01
 7 4.5724737083e-04 4.5722908093e-04 4.3725651578e-04 2.7001773438e+02
 8 1.5241579028e-04 1.5240969364e-04 1.3241883859e-04 8.7219470251e+02
 9 5.0805263425e-05 5.0803231215e-05 3.0806279531e-05 2.8173097636e+03
10 1.6935087808e-05 1.6934410405e-05 -3.0645734898e-06 9.1003009778e+03

后两列很明显不正常.

原理在于，计算机中 $\beta$ 进制非零浮点数尾数的一般形式为

$$\pm0.d_1d_2\cdots d_t\times \beta^J$$

其中，尾数 $0.d_1d_2\cdots d_t$ 中 $0\leqslant d_t\leqslant \beta-1$ ($k=1,2,\cdots,t$)，$d_t>0$. $t$ 是尾数的位数，称为「字长」；整数 $J$ 称为「阶」，满足 $L\leqslant J\leqslant U$，$L,U$ 有很多种标准值.

对于二进制，给定一套 $(t,L,U)$，就能给出一个有限的数集 (包含零)，总共数量有：

$$2^{t-1}(U-L+1)+1$$

这个数集中的非零数，对称地、不等距地 分布在区间 $[-M,-m]$ 和 $[m,M]$ 上，其中

$$m=2^{t-1},\quad M=2^U(1-2^{-t})$$

分别是系统所能表示的最小和最大正浮点数. 对于 $j=L, L+1,\cdots,U$，区间 $[2^{t-1},2^j)$ 内部等距分布 $2^{t-1}$ 个数；但是区间的长度是会变化的，因此在整个实数轴上，浮点数的分布并不等距.

对于实数 $x$，相应的浮点数记为 $\text{fl}(x)$：

• 若 $x=0$，则 $\text{fl}(x)=0$;
• 若 $m\leqslant |x|\leqslant M$，则 $\text{fl}(x)$ 为整个浮点数集 $F$ 中最接近 $x$ 的那个浮点数;
• 若不符合上述条件，那么就会「上溢」或者「下溢」.

/Theorem/

设实数 $x$ 满足 $m\leqslant |x|\leqslant M$，则存在实数 $\delta$ 满足 $|\delta|\leqslant 2^{-t}$，使得

$$\text{fl}(x)=x(1+\delta)$$

($\delta$ 的上界称为机器精度 $\varepsilon_{\text{mach}}$.)

有了这个规则之后，可以建立起浮点数的「加减乘除」.

• 加减法先对阶，后运算，再舍入.
• 乘除法先运算，再舍入.
• 不在浮点数系中的数做舍入 (最靠近) 处理.

因此在计算机系统中加法结合律实际上并不成立，当然这个误差是很小的.

误差的传播和估计：对于多元 (可微) 函数 $f=f(x_1,x_2,\cdots,x_d)$，设自变量 $X\equiv(x_1,x_2,\cdots,x_d)$ 的近似值是 $X_A$，那么函数值的误差为

$$f(X)-f(X_A)=\sum_{j=1}^d(x_j-x_{jA})\int_0^1\frac{\partial f(\theta X-(1-\theta)X_A)}{\partial x_j}\mathrm{d}\theta$$

误差估计：

$$|f(X)-f(X_A)|=\sum_{j=1}^d(x_j-x_{jA})\int_0^1\left|\frac{\partial f(\theta X-(1-\theta)X_A)}{\partial x_j}\right|\mathrm{d}\theta$$

有效数字：一个实数 $x$ 的近似值 $x_A$ 用十进制表示为

$$x_A=\pm 10^k\cdot0.d_1d_2\cdots d_j$$

如果

$$|x-x_A|\leqslant 0.5\times 10^{k-j}$$

那么 $x_A$ 为 $x$ 的具有 $j$ 位的 (十进制) 有效数字近似值.

/Definition/ (条件数)

称 $C=C(x)$ 为 $f$ 在点 $x$ 的条件数，若：

$$\frac{|f(x)-f(x_A)|}{|f(x)|}\leqslant C(x)\frac{|x-x_A|}{|x|}$$

反映函数随自变量的变化程度，是函数的本身性质；如果函数本身可微，那么条件数就接近 $|xf'(x)|/|f(x)|$.

条件数大的问题称为病态问题；反之为良态问题.

如果一个算法可以保证初始小误差不造成结果的重大影响，那么这是一个稳定的算法 —— 在实际应用中我们只应该使用稳定的算法.

误差的避免：

• 防止接近零的数作为除数，放大误差

• 防止大数「吃掉」小数，加减法运算中的大数的误差本身就会掩盖掉小数

• 防止相近的两个数相减，损失有效数字，一个例子是分子的有理化，比如

  $$8-\sqrt{63}=\frac{1}{8+\sqrt{63}}$$

  有效数字从 1 位变成 2 位.

• 减少运算次数

  计算量是另一个需要考量的指标，我们一般把一个算法所需要的乘除运算总次数称为计算量，单位是 flop (也就是单次乘除法计算，floating point operation).

  比如秦九韶算法：

  $$a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=((((a_5x+a_4)x+a_3)x+a_2)x+a_1)x+a_0$$

  从 15 次 flop 减少到 5 次.

除此之外还应该考虑存储量，即算法占用多大内存. 比如要存储前两步的结果，或者只用存储上一步的结果.

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2026/9/16 08:58

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• 338a9-feat(notes): update于 2026/9/16

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