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Lesson 16 电磁波的反射与折射

约 1090 字大约 4 分钟

2025-11-11

Fresnel 公式

从 Maxwell 方程的角度来思考一下电磁波的反射和折射. 考虑电磁波从 ε1,μ1\varepsilon_1,\mu_1 入射到 ε2,μ2\varepsilon_2,\mu_2，入射角为 θ\theta、折射角为 θ′\theta'. 仍然是四个边值关系：

n^×(E⃗2−E⃗1)=0,n^×(H⃗2−H⃗1)=α⃗t=0n^⋅(D⃗2−D⃗1)=σ=0,n^⋅(B⃗2−B⃗1)=0\begin{aligned} \hat{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=0,&\quad\hat{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{\alpha}_t=0\\\\ \hat{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\sigma=0,&\quad\hat{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0 \end{aligned}

这里只需要用到前两个切向的边值关系. 假设入射波为 E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)\vec{E}_0e^{\text{i}(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}，反射波为 E⃗0′ei(k⃗′⋅x⃗−ωt)\vec{E}_0'e^{\text{i}(\vec{k}'\cdot\vec{x}-\omega t)}，折射波为 E⃗0′′ei(k⃗′′⋅x⃗−ωt)\vec{E}_0''e^{\text{i}(\vec{k}''\cdot\vec{x}-\omega t)}. (显然，频率应该一致，否则就不能保证每一时刻的边值关系都成立) 相位相同，得到：

kxx+kyy−ωt=kx′x+ky′y−ωt=kx′′x+ky′′y−ωtk_xx+k_yy-\omega t=k_x'x+k_y'y-\omega t=k_x''x+k_y''y-\omega t

这里设定 xyxy 平面为反射和折射的界面.

于是应该有 x,yx,y 方向的波矢相同. 但是我们知道色散关系，因此知道波矢的模长应该和 με\sqrt{\mu\varepsilon} 成正比，于是：

  • 对于反射，两个波介质相同，∣k⃗∣|\vec{k}| 相同，所以 kzk_z 相同，

    kx=kx′⟹ksin⁡θ=k′sin⁡θ′⟹sin⁡θ′sin⁡θ=kk′=1k_x=k_x'\Longrightarrow k\sin\theta=k'\sin\theta'\Longrightarrow\frac{\sin\theta'}{\sin\theta} = \frac{k}{k'}=1

    反射角等于入射角.

  • 对于折射，两个波矢满足

    k′′k=μ2ε2μ1ε1=n2n1\frac{k''}{k}=\frac{\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}}{\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}}=\frac{n_2}{n_1}

    也就有折射定律 (Snell's law)：

    sin⁡θ′′sin⁡θ=kk′′=n1n2\frac{\sin\theta''}{\sin\theta}=\frac{k}{k''}=\frac{n_1}{n_2}

接下来分为两种线偏振的方向来寻找折射波、反射波和入射波振幅之间的关系.

  • 第一种情况是 E⃗\vec{E} 垂直于 xzxz 平面，得到 (称为 s 偏振)

    E0⊥′E0⊥=ε1μ1cos⁡θ−ε2μ2cos⁡θ′ε1μ1cos⁡θ+ε2μ2cos⁡θ′,E0⊥′′E0⊥=2ε1μ1cos⁡θε1μ1cos⁡θ+ε2μ2cos⁡θ′\frac{E_{0\perp}'}{E_{0\perp}} = \frac{\displaystyle{\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta-\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta'}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta+\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta'}},\quad\frac{E''_{0\perp}}{E_{0\perp}}=\frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta+\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta'}}

  • 第二种情况是 E⃗\vec{E} 平行于 xzxz 平面，得到 (称为 p 偏振)

    E0∥′E0∥=ε2μ2cos⁡θ−ε1μ1cos⁡θ′ε2μ2cos⁡θ+ε1μ1cos⁡θ′,E0∥′′E0∥=2ε1μ1cos⁡θε2μ2cos⁡θ+ε1μ1cos⁡θ′\frac{E'_{0\parallel}}{E_{0\parallel}}=\frac{\displaystyle{\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta-\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta'}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta'}},\quad\frac{E''_{0\parallel}}{E_{0\parallel}} = \frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta+\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\cos\theta'}}

讨论几个光学现象：

  1. 反射波的半波损失

    平面波从光疏介质到光密介质入射时，振幅反射率很可能变成负的，相位反相，这就是所谓的半波损失.

  2. 平行偏振反射波的消失

    对于某个特殊入射角度 θR\theta_R 满足 θR+θ′′=π/2\theta_R+\theta''=\pi/2，称为 Brewster 角，这样的入射角会导致 E0∥′=0E'_{0\parallel}=0，也就是反射光中仅仅只有 s 光，没有 p 光.

    用这个入射角做玻璃堆，可以达到起偏的效果，透射光全部为 p 光. (当然一般不会用玻璃堆起偏的反射光做实验，因为光束很宽)

    利用 Snell's law，Brewster 角实际上满足：

    tan⁡θR=n1n2\tan\theta_R = \frac{n_1}{n_2}

    并且反射波和折射波相互垂直.

  3. 全反射

    在光疏介质到光密介质入射时，当入射角大于 arcsin⁡n1/n2\arcsin n_1/n_2 时，出现全反射. 这时候所有的能量也全部被反射，没有能量穿过入射面.

    当然，考虑隐失波的存在，实际上入射波在光密介质中有一段光程，而不是完全没有穿过入射面.

导体中的电磁波

因为导体弛豫时间非常短，不考虑导体内部存在自由电荷. 波动方程：

∇2E⃗−μσ∂E⃗∂t−με∂2E⃗∂t2=0\nabla^2\vec{E}-\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0

有一个阻尼项.

这时候用复数的波矢，得到衰减因子为 e−z/τe^{-z/\tau}，对于不良导体，

τ=12μεσ≪εμε0μ0k\tau = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\sigma\ll\sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{\varepsilon_0\mu_0}}k

深入的深度远大于波长，和普通的不导电介质类似. 如果是良导体，那么透射深度极小，出现所谓的趋肤效应. 同时，这些深度都和频率有关，频率越高，趋肤效应越明显.

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2025/11/11 03:32
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