外观
Lesson 16 电磁波的反射与折射
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2025-11-11
Fresnel 公式
从 Maxwell 方程的角度来思考一下电磁波的反射和折射. 考虑电磁波从 ε1,μ1 入射到 ε2,μ2,入射角为 θ、折射角为 θ′. 仍然是四个边值关系:
n^×(E2−E1)=0,n^⋅(D2−D1)=σ=0,n^×(H2−H1)=αt=0n^⋅(B2−B1)=0
这里只需要用到前两个切向的边值关系. 假设入射波为 E0ei(k⋅x−ωt),反射波为 E0′ei(k′⋅x−ωt),折射波为 E0′′ei(k′′⋅x−ωt). (显然,频率应该一致,否则就不能保证每一时刻的边值关系都成立) 相位相同,得到:
kxx+kyy−ωt=kx′x+ky′y−ωt=kx′′x+ky′′y−ωt
这里设定 xy 平面为反射和折射的界面.
于是应该有 x,y 方向的波矢相同. 但是我们知道色散关系,因此知道波矢的模长应该和 με 成正比,于是:
对于反射,两个波介质相同,∣k∣ 相同,所以 kz 相同,
kx=kx′⟹ksinθ=k′sinθ′⟹sinθsinθ′=k′k=1
反射角等于入射角.
对于折射,两个波矢满足
kk′′=μ1ε1μ2ε2=n1n2
也就有折射定律 (Snell's law):
sinθsinθ′′=k′′k=n2n1
接下来分为两种线偏振的方向来寻找折射波、反射波和入射波振幅之间的关系.
第一种情况是 E 垂直于 xz 平面,得到 (称为 s 偏振)
E0⊥E0⊥′=μ1ε1cosθ+μ2ε2cosθ′μ1ε1cosθ−μ2ε2cosθ′,E0⊥E0⊥′′=μ1ε1cosθ+μ2ε2cosθ′2μ1ε1cosθ
第二种情况是 E 平行于 xz 平面,得到 (称为 p 偏振)
E0∥E0∥′=μ2ε2cosθ+μ1ε1cosθ′μ2ε2cosθ−μ1ε1cosθ′,E0∥E0∥′′=μ2ε2cosθ+μ1ε1cosθ′2μ1ε1cosθ
讨论几个光学现象:
反射波的半波损失
平面波从光疏介质到光密介质入射时,振幅反射率很可能变成负的,相位反相,这就是所谓的半波损失.
平行偏振反射波的消失
对于某个特殊入射角度 θR 满足 θR+θ′′=π/2,称为 Brewster 角,这样的入射角会导致 E0∥′=0,也就是反射光中仅仅只有 s 光,没有 p 光.
用这个入射角做玻璃堆,可以达到起偏的效果,透射光全部为 p 光. (当然一般不会用玻璃堆起偏的反射光做实验,因为光束很宽)
利用 Snell's law,Brewster 角实际上满足:
tanθR=n2n1
并且反射波和折射波相互垂直.
全反射
在光疏介质到光密介质入射时,当入射角大于 arcsinn1/n2 时,出现全反射. 这时候所有的能量也全部被反射,没有能量穿过入射面.
当然,考虑隐失波的存在,实际上入射波在光密介质中有一段光程,而不是完全没有穿过入射面.
导体中的电磁波
因为导体弛豫时间非常短,不考虑导体内部存在自由电荷. 波动方程:
∇2E−μσ∂t∂E−με∂t2∂2E=0
有一个阻尼项.
这时候用复数的波矢,得到衰减因子为 e−z/τ,对于不良导体,
τ=21εμσ≪ε0μ0εμk
深入的深度远大于波长,和普通的不导电介质类似. 如果是良导体,那么透射深度极小,出现所谓的趋肤效应. 同时,这些深度都和频率有关,频率越高,趋肤效应越明显.
更新日志
2025/11/11 03:32
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