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Lesson 6 高分子链 (二)

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2025-10-28

如果很多人都迟交作业，那么分数 decay 的因子会很强. 当然我们没有要求大家把所有的题目做出来做得很完美，比如打了 ∗∗** 的题目有时候会需要查找文献或者调研.

我们要说一下，为什么远离平衡的稳态对生物体那么重要：如果某种蛋白质存在错误折叠和正确折叠两种状态，它们之间的转换平衡常数是 K−K_- 和 K+K_+，有两个公式主导了这个过程：

  • 平衡常数：这产生一条对数坐标上的正比例函数
  • 物质守恒：这产生一条对数坐标上的负相关一次函数

这两条直线会在某个点相交，这就是系统唯一可以存在的平衡态. 不管这之间的转换到底是如何进行的，平衡态一定只能是这个解. 但是，如果我们让两个方向的转换有一个方向是不平衡的，比如引入一个驱动 (ATP →\to ADP 之类)，那么我们就不止一个解，原来的那个「正比例函数」的斜率可以变化，在物质守恒的那条直线上扫出一个线段那么多的解.

线段的一个端点是无驱动的平衡态，另一端是只有有驱动的那一个反应时，达到的极限状态. 这样我们就能够通过引入驱动的方式，使得生物体内的反应变得可以调控.

当反应物和生成物增多，我们可以画一个相空间，每一条轴都是参与反应物质的浓度，那么物质守恒对应一个 n−1n-1 维的超曲面，可以存在的状态区间是过原点的一条直线扫出来的一个 n−1n-1 维面，驱动越大，可能的状态区间就越来越大.

这是 2024 年才发表的结果，其实是很前沿的.

高分子

继续回来讲我们的高分子.

实际上一个一维链是一个 Ising model，势能为

H=−h∑iσi+J∑(i,j)σiσjH=-h\sum_i\sigma_i+J\sum_{(i,j)}\sigma_i\sigma_j

Ising 模型存在一个关联函数：

g(r)=⟨σiσi+1⟩=tanh⁡r(βJ)=e−r/ξg(r)=\braket{\sigma_i\sigma_{i+1}}=\tanh^r(\beta J)=e^{-r/\xi}

但是只有在小的原子量情况下 Ising 模型才能比较好地估计高分子的关联长度，更大的原子量这些模型就因为某些长程的关联而不适用了.

考虑更高的维度，两个链节之间的关联依赖于它们的夹角 (为简便，只考虑近邻的相互作用)：

⟨x⃗i⋅x⃗j⟩=a2(cos⁡θ)∣j−i∣=a2e−∣j−i∣/sp\braket{\vec{x}_i\cdot\vec{x}_j}=a^2(\cos\theta)^{|j-i|}=a^2e^{-|j-i|/s_p}

(比如 1 和 3 的关联：a2⟨x⃗1⋅x⃗3⟩=⟨x⃗1⋅x⃗2⟩⟨x⃗2⋅x⃗3⟩a^2\braket{\vec{x}_1\cdot\vec{x}_3}=\braket{\vec{x}_1\cdot\vec{x}_2}\braket{\vec{x}_2\cdot\vec{x}_3}) 如果连续化计算，得到首到尾的距离平均应该是

⟨r2⟩=⟨∫0Lt⃗(s1)ds1∫0Lt⃗(s2)ds2⟩=∫0L∫0L⟨t⃗(s1)⋅t⃗(s2)⟩ds1ds2=∫0L∫0Le−∣s1−s2∣/ξpds1ds2\begin{aligned} \braket{r^2} &= \braket{\int_0^L\vec{t}(s_1)\text{d}s_1\int_0^L\vec{t}(s_2)\text{d}s_2}\\\\ &=\int_0^L\int_0^L\braket{\vec{t}(s_1)\cdot\vec{t}(s_2)}\text{d}s_1\text{d}s_2\\\\ &=\int_0^L\int_0^Le^{-|s_1-s_2|/\xi_p}\text{d}s_1\text{d}s_2 \end{aligned}

这样的关联可能来源于单元的带电性，或者一个比较好的模型 —— 弹性. 弯曲角度圆心角为 θ\theta 时，总的弹性势能是

E=B2∫0S1R2ds=B2SR2=B2Sθ2E=\frac{B}{2}\int_0^S\frac{1}{R^2}\text{d}s=\frac{B}{2}\frac{S}{R^2}=\frac{B}{2S}\theta^2

计算上面弹性势能的平均值，为 kBTk_BT 量级，所以

⟨θ2⟩=2kBTB\braket{\theta^2}=\frac{2k_BT}{B}

(能均分，有 θ\theta 和 ϕ\phi 两个弯曲自由度)

这样的量代表着一个高分子整体的弯曲程度，可以实测得到一个高分子「直」的部分的长度：对于 RNA，实测数据为 ∼1 nm\sim1\text{ nm}，DNA 为 ∼50 nm\sim50\text{ nm}，actin (肌动蛋白) 为 ∼18  μm\sim18\,\,\mu\text{m}，MT (微管) 为 ∼6 mm\sim6\text{ mm}.

这是很神奇的，因为在细胞内部，微管的直线长度实际上只有 ∼30  μm\sim30\,\,\mu\text{m} 的量级，和溶液中的差距 200 倍. 所以我们的假设一定有哪里出了问题：

问题在于：我们假设高分子与周围的介质处于平衡态. 实际上在细胞内部，分子马达会对微管等等高分子产生很多撞击，导致高分子变得弯曲.

拉直 DNA：WLC Model.

就像小时候卷曲的电话线，在简单拉直的时候，我们并不需要费很多力，因为这是一种「熵弹性」(当然宏观物体的熵效应并不明显，我们只是比喻)；但是要拉开微观的那些小螺旋，就需要花更大的力气，就像 DNA 的单元之间的小结构在拉得很直时有显著的作用.

下面说几个例子.

Force Sensing (力感知)：比如诱导干细胞的发育，只需要改变它所处的力环境. 什么样的结构能够将力学信号改成化学信号？

一种叫做 talin 的蛋白，有一端扎在细胞膜上，另一端固定在细胞骨架上，一旦受到力的作用，上面的一个结构会被弹开，露出里面的一个结合位点.

talin 上一共有 13 个能被弹开的结构.

下游的信号分子能够结合这个位点，进行下一步的反应.

这个蛋白把力学信号转换为了「结合能力」，实测得到几个 pN\text{pN} 大小的力能够造成 1000 倍以上的亲和力变化.

当然我们做了平衡态的假设，也就是细胞骨架一直以力平衡方式拉着 talin. 但是这个调控过程不一定是平衡的，有可能是以一个固定的速度在拉着 talin (固定速度是可以实现的，比如分子马达的速度一般就是恒定的)，这时候就不再是平衡态的过程了.

DNA 成环：可以计算 DNA 成环的自由能变化，对于长度为 LL 的一个环，

ΔEbend∼1/L ,ΔS∼−ln⁡L ,ΔG=ΔE−TΔS\Delta E_{\text{bend}}\sim1/L\,,\quad\Delta S\sim-\ln L\,,\quad\Delta G=\Delta E-T\Delta S

其中熵的变化是因为：另一头本来能够在一个半径为 LL 的球面上运动，但是现在被固定在这一头的位置，丧失了一个球面的自由度.

蛋白质的折叠也和上面两个例子类似.

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2025/10/28 14:03
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