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Lesson 2 生物系统的物理基础

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2025-09-23

10.14 的课调到 10.12 晚.

Physical Basis of Living Systems

首先我们还是来了解一些基本的前置知识，是一些量级.

以 E.coli (大肠杆菌) 为例，尺度大约是 1×2 μm21\times2\,\mu\text{m}^2，质量约是 6.22×10−27 kg6.22\times10^{-27}\text{ kg}，能量是

1kBT=4.1 pN⋅nm=4.1×10−21 J=25 meV1k_BT=4.1\text{ pN}\cdot\text{nm}=4.1\times10^{-21}\text{ J}=25\text{ meV}

量级，受力量级在 pN\text{pN} (也就是热效应就会造成感知系统的响应). 蛋白数量约是 3×1063\times10^6 量级，核糖体个数约是 2×1042\times10^4 个.

会用到一个浓度单位：1 M=1 mol/L1\text{ M}=1\text{ mol/L}. 有 1 molecule/E.coli=2 nM1\text{ molecule}/E.coli = 2\text{ nM}. 细胞内部是非常拥挤的，大分子几乎填满了整个细胞.

真核细胞大约在 10 μm10\,\mu\text{m} 量级，DNA 碱基是 0.1 nm0.1\text{ nm}，盘起来的 DNA 是 10 nm10\text{ nm} 量级. 细胞之间的量级其实差异很大，比如人的坐骨神经细胞甚至长达一米.

细胞内部有很多结构，主要的结构是内质网，是很多层叠起来围在细胞核周围的一种结构. 假设内质网的两面间距是 dd，填满的体积是 4π/3⋅(Rout3−Rin3)4\pi/3 \cdot(R^3_{\text{out}}-R^3_{\text{in}})，可以算出内质网的表面积为

A=4π/3⋅(Rout3−Rin3)/d=1.5×104μm2A=4\pi/3 \cdot(R^3_{\text{out}}-R^3_{\text{in}})/d=1.5\times10^4\mu\text{m}^2

这是一个非常大的面积.

生物上遇到的时间尺度，从一个化学键的存在时间 (μs\mu\text{s} 量级) 到红杉的年龄 (几千年) 都有，但是我们喜欢的研究范围一般是秒到天的量级，比如果蝇的变态发育周期是几个小时、大肠杆菌运动经过自己的体长用时几毫秒.

大肠杆菌细胞的分裂周期分为 DNA 复制和蛋白质制造过程. 这两个过程一个是用复制酶来完成、一个是核糖体的合成. DNA 复制过程如果用一个酶来完成可能需要 80 min80\text{ min}，但是营养很好的时候 20 min20\text{ min} 大肠杆菌就能复制一代.

这是因为 DNA 复制可以并行复制，但是蛋白质是主要的限速步骤，核糖体的数量是有上限的.

当然这是细菌 (原核生物)，但是真核细胞有很多受控的机制来检查分裂是否出错 (不受控制的真核细胞分裂就是癌症！)，所以这样的过程是大量信号分子来相互作用的复杂过程.

生物节律行为：绝大部分高等动物和一部分细菌都有这样的生物节律，一个来源是 DNA 的表达和时间有关系，另外在时间不同的情况下不同蛋白质的表达也有差异 (这是在蓝藻中发现的).

Life in water

下面是比较硬核的部分了. 生命是在水中产生的，所以我们用流体力学 (一个「场」的视角) 来思考问题.

在流体中的全微分：

Df(t,x,y,z)Dt=∂f∂t+∂f∂xi∂xi∂t=∂f∂t+∂f∂xivi=∂f∂t+∇f⋅v⃗\frac{\text{D}f(t,x,y,z)}{\text{D}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x_i}v_i=\frac{\partial f}{\partial t}+\nabla f\cdot\vec{v}

质量守恒就是将 f=Vρf=V\rho 代入：

∂ρ∂t+∇⋅(ρv⃗)=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0

动量守恒：

D(ρvi)Dt=ρ∂vi∂t+ρvj∂vi∂xj=fi+∂jσij\frac{\text{D}(\rho v_i)}{\text{D}t}=\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}+\rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=f_i+\partial_j\sigma_{ij}

(这里假设 ρ\rho 是不变的)

RHS 代表各个方向的力，其中 fif_i 表示作用在体积元上的力密度，∂jσij\partial_j\sigma_{ij} 是作用在表面上的切向力密度 (有 3 个面，每个面上有 3 个方向的作用力，所以是 3×33\times3 的矩阵).

上面那个方程差了一个本构方程 (描述力和体积元的形变)，所以不能解出来. 于是我们需要了解流体的黏性是怎样表达的. 对于一个层流系统，如果在垂直速度方向上没有梯度就不会有黏滞力，所以这样的力正比于速度梯度：σij∝∂jui(xj)\sigma_{ij}\propto\partial_j u_i(x_j). 有

∂xvz(x+Δx)−∂xvz(x)≈∂x2vz(x)\partial_xv_z(x+\Delta x)-\partial_xv_z(x)\approx\partial^2_xv_z(x)

得到关于速度场的 Navier-Stokes 方程：

ρ∂vi∂t+ρvj∂vi∂xj=−∂p∂xi+η∂2vi∂xi2\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}+\rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\eta\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_i^2}

这是一个非线性方程 (LHS 是惯性项，其中的第二项非线性). 为了做近似，我们来估算这个非线性项的量级 (LL 是线度)：

ρv∂xv≈ρvvL=ρv2L ,η∂x2v≈ηvL2\rho v\partial_xv\approx\rho v\frac{v}{L}=\frac{\rho v^2}{L}\,,\quad\eta\partial^2_xv\approx\frac{\eta v}{L^2}

两者的比：

ρv∂xvη∂x2v≈ρvLη\frac{\rho v\partial_xv}{\eta\partial_x^2v}\approx\frac{\rho vL}{\eta}

这正是 Reynolds 数 Re\mathcal{Re}，表征惯性项和黏性项哪个更重要，对于细胞尺度而言这个值只有 10−510^{-5} 量级，所以几乎没有惯性，而且流场是非常好的层流.

提示

关于层流效应的好处，老师放了一个视频，在几乎全是层流的系统中倒入三种颜料并混合，反过来搅拌时出现了几乎是倒放的效果，三种颜色能够完全分离.

在极低 Reynolds 数的世界里，Galileo 的说法似乎不再适用，Aristotle 的说法反而占了上风：「力是维持物体运动的原因」. 有一个所谓的「扇贝定理」，说的是一个极微小尺度的扇贝，它快速闭合自己的壳，能够往前移动一段距离；但是在张开壳的过程中就会因为黏滞和动量守恒移动回来. 所以生物的运动必须有非对易的成分产生对称性破缺，使得生物产生宏观运动，就比如精子的鞭毛是旋转运动的.

细菌鞭毛在横截面和边缘面的两个方向的摩擦系数是不同的，这就产生了细菌的宏观运动.

Statistical Physics and Chemical Reactions in Shorts

警告

我们要用一种「邪修」的方法来讲本来应该要讲两个学期的统计力学.

在生物中我们谈论概率主要是因为生物中的化学反应都是有概率的，这里的微观态是一个 RNA 聚合酶占据了一个 DNA 的结合位点；宏观态是有多少个 RNA 聚合酶占据了 DNA 的结合位点.

我们要找到所有可能的概率分布下，最有可能出现的概率分布. 用 Shannon 熵来描写这些概率分布出现的可能性. 因为很多信息不知道，所以我们只能「知之为知之，不知为不知」. Shannon 熵写成

S=−∑ipiln⁡piS=-\sum_ip_i\ln p_i

我们现在不太想说明这个式子是怎么来的，但是想必大家都知道我们的要求是这个函数具有可加性、表征系统的概率分布等等条件，这是唯一的选择.

现在要最大化这个熵，用的是 Lagrange 乘子法：

max⁡S′=−∑ipiln⁡pi−λ(∑ipi−1)\max S'=-\sum_ip_i\ln p_i-\lambda\left(\sum_ip_i-1\right)

Lagrange 乘子法要求

∂S∂pi=−(1+ln⁡pi)−λ ,∂S∂λ=∑ipi−1=0\frac{\partial S}{\partial p_i}=-(1+\ln p_i)-\lambda\,,\quad \frac{\partial S}{\partial \lambda}=\sum_ip_i-1=0

这说明 pi=1/Np_i=1/N (等概率). 这是符合直觉的，因为一旦某个态的概率更高，就意味着我们获得了有关的信息.

如果现在我知道了更多信息：系统的平均能量 ⟨E⟩=∑ipiEi\braket{E}=\sum_ip_iE_i，这时候条件变了，Lagrange 函数变成

S′=−∑ipiln⁡pi−λ(∑ipi−1)−β(∑ipiEi−⟨E⟩)S'=-\sum_ip_i\ln p_i-\lambda\left(\sum_ip_i-1\right)-\beta\left(\sum_ip_iE_i-\braket{E}\right)

计算得到分布是

pi=e−βEi∑ie−βEip_i=\frac{e^{-\beta E_i}}{\sum_ie^{-\beta E_i}}

当然现在我们不知道 β\beta 了，但是如果用一些分布代进去算，可以知道 β=1/kBT\beta=1/k_BT，这就是 Boltzmann 分布. 上式的分母写成 ZZ，称为配分函数.

对于一个宏观态 ZI=∑i∈Ie−βEiZ_I=\sum_{i\in I}e^{-\beta E_i}，概率是 pI=ZI/Zp_I=Z_I/Z.

不同的能量形式可以被代入上面的分布，得到不同的 Boltzmann 分布关系.

若 ZI=MIe−βEIZ_I=M_Ie^{-\beta E_I}，可以写成

ZI=e−β(EI−kBTln⁡MI)=e−β(EI−TS) ,FI=EI−TSI=−kBTln⁡ZIZ_I = e^{-\beta(E_I-k_BT\ln M_I)}=e^{-\beta(E_I-TS)}\,,\quad F_I=E_I-TS_I=-k_BT\ln Z_I

这是自由能. 那么 pI=ZI/Z=e−β(FI−F0)p_I=Z_I/Z=e^{-\beta(F_I-F_0)}，F0=−kBTln⁡ZF_0=-k_BT\ln Z. 很容易想象，系统最终演化应该会到一个自由能最低的态，得到 F0F_0 这个态. 最小自由能的态是平衡态.

除了自由能 (Helmholtz 自由能)，还有 Gibbs 自由焓，

G=E−TS+∑iXixiG=E-TS+\sum_iX_ix_i

XiX_i 是广义力、xix_i 是广义位移.

一个技巧是

−∂(ln⁡Z)∂β=⟨Ei⟩-\frac{\partial(\ln Z)}{\partial\beta}=\braket{E_i}

同样地，如果是 Gibbs 自由焓的情况，G=−kBTln⁡ZG=-k_BT\ln Z，Z=∑iEie−β(Ei−fxi)Z=\sum_i E_ie^{-\beta(E_i-fx_i)}，那么

⟨x⟩=−∂G∂f=1β∂(ln⁡Z)∂f ,⟨f⟩=1β∂(ln⁡Z)∂x\braket{x}=-\frac{\partial G}{\partial f}=\frac{1}{\beta}\frac{\partial(\ln Z)}{\partial f}\,,\quad\braket{f}=\frac{1}{\beta}\frac{\partial(\ln Z)}{\partial x}

这里可以看出 ff 和 xx 是对易的，都是因为它们在指数上以乘积形式存在.

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2025/10/9 02:50
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